Определение метрического тензора

[tibon]

Приветствую!

Столкнулся со следующей проблемой (цитата из Ю.М. Белоусов, С.Н. Бурмистров, А.И. Тернов "Задачи по теоретической физике"):

Цитата:

Среди различных инвариантов важное место занимает элемент длины, квадрат которого есть $(dl)^2 = dx_{i} dx^{i}$. Поскольку это скаляр, его величина должна оставаться неизменной при замене координат:

$$ (dl)^{2} = dx_{i} dx^{i} = \frac{\partial x'^{k}}{\partial x^{i}} dx'_{k} \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{l}} dx'^{l} = \frac{\partial x'^{k}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{l}} dx'_{k} dx'^{l}. $$

По определению множитель, стоящий перед $dx'_{k} dx'^{l}$, есть смешанный тензор второго ранга, который можно обозначить как $g_{l}^{k}$. Если оба индекса будут внизу, получится ковариантный тензор второго ранга

$$ g_{kl} = \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{k}} \frac{\partial x^{l}}{\partial x'^{i}}, $$

с помощью которого элемент длины можно записаться, используя только компоненты контравариантного вектора:

$$ (dl)^{2} = g_{ik} dx^{i} dx^{k}. $$

Возникает вопрос по поводу правильной расстановки индексов.
В записи

$$ g_{l}^{k} = \frac{\partial x'^{k}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{l}} $$

всё устраивает, так как индексы расставлены правильно - слева и справа совпадают верхние и нижние индексы, суммирование - по верхнему и нижнему индексу производится.
С записью же

$$ g_{kl} = \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{k}} \frac{\partial x^{l}}{\partial x'^{i}} $$

не могу согласиться, так как здесь почему-то не соблюдается правило баланса индексов (слева индекс $l$ стоит снизу, а справа - сверху). В первую очередь смущает слово "получится"; как из смешанного метрического тензора получить ковариантный метрический тензор, если для поднимания и опускания индексов как раз и используется метрический тензор?
А учтя, что $dx^{i} = (\partial x^{i} / \partial x'^{k}) dx'^{k}$, из вот этого выражения тоже не получается получить что-либо толковое (индексы то оба верхние):

$$ g_{ik} a^{k} = \frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{i}} \frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{j}} a^{k}. $$

Помогите, пожалуйста, разобраться.

[VanD]

tibon в сообщении #1057150 писал(а):

$$ g_{kl} = \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{k}} \frac{\partial x^{l}}{\partial x'^{i}} $$

Это вообще непонятно что, если честно. Что за сумма по индексу $i$ -- для меня загадка.
Наверно, я бы такую литературу читать дальше не стал.

tibon в сообщении #1057150 писал(а):

В первую очередь смущает слово "получится"; как из смешанного метрического тензора получить ковариантный метрический тензор, если для поднимания и опускания индексов как раз и используется метрический тензор?

Скорее вопрос, кто такой смешанный метрический тензор? Как-то преемственность нарушена. Сначала поле типа (0, 2) обычно вводят вроде, потом нарекают его опускающим индексы, а поле, доставляющее в каждой точке обратный к этому изоморфизм из кокасательного пространства в касательное -- поднимающим.
Просто выходит как будто авторы сначала ввели символ Кронекера $\delta_j^i \frac{\partial \ }{\partial x^i} \otimes dx^j$, а потом почему-то его фиксация обязала выбрать конкретное поле типа (0, 2), что уж совсем неправда. Впрочем, может я не так понял, но написано необычно как минимум.

[arseniiv]

Я открыл ту книженцию. Они как-то внезапно спускают индекс, действительно. Перед этим никакого тензора с компонентами $x_i$ не введено, и опускания в общем случае тоже. (Перед этим дельта Кронекера определяется, и почему-то как $\partial x^i/\partial x^j$. Совпадает-то совпадает, но зачем? Чем не угодил простой единичный оператор? Впрочем, как тензоры обычно вводятся для использования физикой, я не в курсе — если это вдруг для чего-то удобно…)

И обозначения ещё дальше весёлые, и $\varepsilon$ без зазрения совести назван тензором (хотя в сноске дописано, что он «обладает свойствами плотности»).

[tibon]

VanD в сообщении #1057158 писал(а):

Это вообще непонятно что, если честно. Что за сумма по индексу $i$ -- для меня загадка.
Наверно, я бы такую литературу читать дальше не стал.

Это сборник задач по теоретической физике с небольшими "выжимками" теории по теме перед каждым из разделов с задачами.

VanD в сообщении #1057158 писал(а):

Скорее вопрос, кто такой смешанный метрический тензор? Как-то преемственность нарушена. Сначала поле типа (0, 2) обычно вводят вроде, потом нарекают его опускающим индексы, а поле, доставляющее в каждой точке обратный к этому изоморфизм из кокасательного пространства в касательное -- поднимающим.

Приношу свои извинения, но с таким подходом я не знаком (обучение не профильное математическое, а инженерно-физическое), хотя (в целом) суть ясна, так как были элементы общей алгебры в программе, но там поля и связанные с ними вещи вводились совершенно для других целей и, видимо, несколько по-другому (не помню, чтобы были их типы "(0, 2" и т.д., но это может быть уже проблемы с памятью)).

VanD в сообщении #1057158 писал(а):

Просто выходит как будто авторы сначала ввели символ Кронекера $\delta_j^i \frac{\partial \ }{\partial x^i} \otimes dx^j$, а потом почему-то его фиксация обязала выбрать конкретное поле типа (0, 2), что уж совсем неправда. Впрочем, может я не так понял, но написано необычно как минимум.

Да, действительно, до этого был введен символ Кронекера, но способом, описанным пользователем arseniiv.

Вообще, в другом пособии видел ход рассуждений, аналогичный первой формуле, но там он использовался для доказательства инвариантности элемента длины:

$$ (dl)^{2} = dx_{i} dx^{i} = \frac{\partial x'^{k}}{\partial x^{i}} dx'_{k} \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{l}} dx'^{l} = \frac{\partial x'^{k}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{i}}{\partial x'^{l}} dx'_{k} dx'^{l} = \frac{\partial x'^{k}}{\partial x'^{l}} dx'_{k} dx'^{l} = \delta_{l'}^{k'} dx'_{k} dx'^{l} = dx'_{k} dx'^{k}. $$

arseniiv в сообщении #1057162 писал(а):

Я открыл ту книженцию. Они как-то внезапно спускают индекс, действительно. Перед этим никакого тензора с компонентами $x_i$ не введено, и опускания в общем случае тоже. (Перед этим дельта Кронекера определяется, и почему-то как $\partial x^i/\partial x^j$. Совпадает-то совпадает, но зачем? Чем не угодил простой единичный оператор? Впрочем, как тензоры обычно вводятся для использования физикой, я не в курсе — если это вдруг для чего-то удобно…)

И обозначения ещё дальше весёлые, и $\varepsilon$ без зазрения совести назван тензором (хотя в сноске дописано, что он «обладает свойствами плотности»).

Один из автором в другом своём пособии указывает на то, что $\varepsilon$ (символ Леви-Чивиты) является псевдотензором (так как изменяет свой знак при отражениях).
Но ни в одном из учебников для физиков я не встречал сильно отличного определения (не видел углубления в общую алгебру и т.д.), так как, как мне видится, это считается излишним.
А как следует определять символ Кронекера? Потому что в вычислениях, с которым мне приходилось сталкиваться раньше, такое определение повсеместно использовалось.

В таком случае, быть может, я разместил своё сообщение не в том разделе, а следовало его разместить в разделе по физике?
Хотелось бы просто разобраться в том, как метрический тензор через матрицы Якоби (прямую и обратную, как я понял) определяется "для физиков" с правильной расстановкой индексов и всем таким. Если такого нет или что его стоит определять не через матрицы Якоби, то прошу помочь соориентироваться на этом пути.

[VanD]

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

Это сборник задач по теоретической физике с небольшими "выжимками" теории по теме перед каждым из разделов с задачами.

Я имел в виду, совершенно не ясно как производится суммирование (видимо оно как-то подразумевалось) по индексу $i$. Не понятно, какая из координат в новой системе будет иметь "этот же" индекс.

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

были элементы общей алгебры в программе, но там поля и связанные с ними вещи вводились совершенно для других целей

И совсем другие поля) Я имел в виду тензорные поля. То есть грубо говоря когда в каждой точке выбран тензор фиксированного типа.

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

Хотелось бы просто разобраться в том, как метрический тензор через матрицы Якоби (прямую и обратную, как я понял) определяется "для физиков" с правильной расстановкой индексов и всем таким

Про матрицу Якоби -- это уже о том, как реагируют компоненты на смену системы координат. Это можно в любом учебнике по дифференциальной геометрии отдельно подсмотреть, если очень хочется)

[arseniiv]

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

Приношу свои извинения, но с таким подходом я не знаком (обучение не профильное математическое, а инженерно-физическое)

Любой дважды ковариантный тензор — это просто билинейная форма (функция двух векторных аргументов со значениями-скалярами, линейная по обоим аргументам). Метрический тензор $g_{ij}$ определяет скалярное произведение $(\mathbf x,\mathbf y) = g_{ij}x^iy^j$ на касательном пространстве, отсюда его связь с метрикой, порождаемой этим скалярным произведением. Касательное пространство — это, грубо говоря, пространство векторов, испущеных из данной точки (по крайней мере, для той книги, где рассматриваются дальше только плоские многообразия, это можно сказать). Надеюсь, за такое «определение» метрического тензора меня не скушают.

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

(не помню, чтобы были их типы "(0, 2" и т.д., но это может быть уже проблемы с памятью)

А, это просто тип (или «ранг» вроде тоже употребляется) тензоров—значений поля. Т. е. векторное поле — поле типа (1, 0) (1 раз контравариантное, ни разу ковариантное), скалярное — типа (0, 0), операторное — (1, 1) и т. п..

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

Один из автором в другом своём пособии указывает на то, что $\varepsilon$ (символ Леви-Чивиты) является псевдотензором (так как изменяет свой знак при отражениях).
Но ни в одном из учебников для физиков я не встречал сильно отличного определения (не видел углубления в общую алгебру и т.д.), так как, как мне видится, это считается излишним.
А как следует определять символ Кронекера? Потому что в вычислениях, с которым мне приходилось сталкиваться раньше, такое определение повсеместно использовалось.

С определением как раз порядок (кажется: я уже закрыл ту книгу): $\varepsilon_{i\cdots k}$ равно знаку перестановки $(1,\ldots,n)$ в $(i,\ldots,k)$ или нулю, если такой перестановки не существует.

(Оффтоп)

tibon в сообщении #1057167 писал(а):

В таком случае, быть может, я разместил своё сообщение не в том разделе, а следовало его разместить в разделе по физике?

Возможно. Оповещу модераторов, пусть решат.

-- Пн сен 28, 2015 03:09:28 --

P. S. Исправил свои ляпы насчёт типов тензоров.

[Red_Herring]

arseniiv в сообщении #1057162 писал(а):

и $\varepsilon$ без зазрения совести назван тензором (хотя в сноске дописано, что он «обладает свойствами плотности»).

Я бы тут не сильно ругался. Дело в том, что многие объекты ведут себя довольно "ублюдочно" или "гибридно". Вот самая обычная плотность, вроде бы скалярная величина; там то и компонента одна единственная. И действительно, пока якобиан перехода по модулю 1, при замене координат не меняется. А если не 1, то возникает лишний множитель. То же с $\varepsilon$, только при якобиане -1 он ещё и знак меняет.

А векторное произведение в размерности 3? Берем два вектора $a$ и $b$, берём их произведение $a\times b$, д.б. перпендикулярен обоим, значит вроде как ковектор, но зависит от ориентации, значит ещё и псевдо, но там опять заморочки с объёмом, значит ещё и плотность… Псевдо-ковектор-плотность

В любом случае важно понимать что происходит при замене системы координат.

[arseniiv]

Угу. Вот я как раз где-то видел «тензорная плотность», «псевдотензорная плотность». Понятно, повторять это сто раз никому не захочется, но ведь и не надо: как ввели какой-нибудь $\sigma$, так потом и пишем просто $\sigma, \sigma, \sigma$ без всяких эпитетов, так что почему бы и не писать при определении «это псевдотензор» и т. п.?

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1057174 писал(а):

Псевдо-ковектор-плотность

Вроде же не ко-?

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1057180 писал(а):

Вроде же не ко-?

Смотря как определить. В евклидовом пространстве разницы нет, а в неевклидовом, вроде, и векторного произведения не определяют, а расписывают точнее, что хотят получить, через тензоры и Леви-Чивиту. Или на языке форм, через внешние произведения и сопряжение Ходжа.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну вот, я как-то так и думал.

[Red_Herring]

arseniiv в сообщении #1057180 писал(а):

Вроде же не ко-?

Как же не ко, когда векторам ортогонален. Ну или через Леви-Чивиту, у которого все индексы нижние

[arseniiv]

Так ведь можно поднять… (Хотя, если что, я больше люблю $\wedge$, и уж тут-то определения обычно не расходятся. Так что пусть $\mathbf u\times\mathbf v$ будет какой кому удобнее!)

[tibon]

VanD в сообщении #1057158 писал(а):

Скорее вопрос, кто такой смешанный метрический тензор? Как-то преемственность нарушена. Сначала поле типа (0, 2) обычно вводят вроде, потом нарекают его опускающим индексы, а поле, доставляющее в каждой точке обратный к этому изоморфизм из кокасательного пространства в касательное -- поднимающим.
Просто выходит как будто авторы сначала ввели символ Кронекера $\delta_j^i \frac{\partial \ }{\partial x^i} \otimes dx^j$, а потом почему-то его фиксация обязала выбрать конкретное поле типа (0, 2), что уж совсем неправда. Впрочем, может я не так понял, но написано необычно как минимум.

arseniiv в сообщении #1057162 писал(а):

Я открыл ту книженцию. Они как-то внезапно спускают индекс, действительно. Перед этим никакого тензора с компонентами $x_i$ не введено, и опускания в общем случае тоже. (Перед этим дельта Кронекера определяется, и почему-то как $\partial x^i/\partial x^j$. Совпадает-то совпадает, но зачем? Чем не угодил простой единичный оператор? Впрочем, как тензоры обычно вводятся для использования физикой, я не в курсе — если это вдруг для чего-то удобно…)

А как правильно следует это всё вводить и определять (символ Кронекера, поднятие и опускание индексов)?
Запись символа Кронекера через производные (как и через матрицу Якоби, что мне кажется аналогичным) мне вполне интуитивно понятна, как то, что мы дифференцируем единичный радиус-вектор по каждой из координат, получая 0 и 1 в разных случаях. Это лишь частный случай чего-то более общего? Или я не до конца правильно понимаю саму суть?
Какова "внутренняя структура" тензора $g_{ij}$? Чтобы для практических применений в физике использовать? С тем определением символа Кронекера, что я описал выше, достаточно удобно работать при вычислениях в векторном анализе в тензорной записи.
Где про введение и определение (символа Кронекера, поднятия и опускания индексов) можно почитать покороче (если возможно) или поподробнее, чтобы глубже вникнуть?
Потому что дальше (следующим абзацем) указывается, что легко видеть

$$ g_{ij}g^{jk} = \delta_{i}^{k}. $$

Это кажется логичным (и я уже встречался с этим), но мне это не легко увидеть, не имея "внутренней структуры" или чего-то в этом духе.

VanD в сообщении #1057158 писал(а):

Это вообще непонятно что, если честно. Что за сумма по индексу $i$ -- для меня загадка.
Наверно, я бы такую литературу читать дальше не стал.

Здесь я понял про индекс $i$. Меня же больше в записи смутила сама форма - что слева индекс $l$ стоит снизу, а справа - сверху. Ну и $i$ там "разные", да. А если индексы $l$ "выровнять" - получится, что два индекса $i$ будут стоят сверху и никакого суммирования не будет, и опять имеем что-то странное.

[Munin]

tibon в сообщении #1057291 писал(а):

Какова "внутренняя структура" тензора $g_{ij}$? Чтобы для практических применений в физике использовать?

Это квадратичная форма. В евклидовом случае - положительно определённая. Суть её - в том, что на сколько вы отступаете от данной точки в данном направлении, столько получаете квадрат длины. (В бесконечно малой окрестности, иначе - интегрировать такие бесконечно малые шажки.) Длина не зависит от систем координат, поэтому если вы зафиксировали две точки, вычислили между ними длину, а потом сделали замену координат (в бесконечно малой окрестности, это будет линейная замена), то квадратичная форма изменится соответственно, чтобы длина осталась та же. Таким образом, всё многообразие у вас оказывается "размечено" длинами между точками, и эта разметка (собственно метрика) не меняется, какие бы координаты не использовать. Если хотите вычислять ещё что-то не меняющееся от координат, то вам приходится выражать это через метрику, и после этого, вычислять, опираясь на метрический тензор.

Пример. Допустим, вам нужно вычислить угол между прямыми на плоскости, в любых криволинейных с.к. Заметим, что угол выражается через длины по теореме косинусов. Таким образом, надо взять направляющие векторы двух прямых, их длины, и расстояние между их концами, и тогда можно вычислить косинус искомого угла.

Ещё пример. Допустим, нужно вычислить площадь треугольника на плоскости. Угол мы уже знаем, а площадь вычисляется через две стороны и синус угла.

И так далее. Через длины, углы и площади вычисляется всё, что угодно, на плоскости. В 3-мерном пространстве аналогично вычисляется объём. В $n$-мерном - $n$-объём.

В физике также очень важен вариант псевдометрики, когда квадратичная форма $g_{ij}$ не положительно-определённая, а имеет сигнатуру $(n,1)$ или $(1,n)$ (для физики это не важно). Здесь в бесконечно-малых окрестностях возникает не евклидова геометрия, а геометрия Минковского. Но главное свойство сохраняется: вычисление через псевдометрический тензор даёт такую "разметку", которая не меняется от систем координат, и через неё можно вычислять любые другие истинно геометрические величины. (P. S. Физики обычно опускают приставку "псевдо-".)

tibon в сообщении #1057291 писал(а):

Где про введение и определение (символа Кронекера, поднятия и опускания индексов) можно почитать покороче (если возможно) или поподробнее, чтобы глубже вникнуть?

Покороче, и при этом достаточно для физики, - это
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
§§ 6, 83-86, 91-92. Или несколько подробней:
Вайнберг. Гравитация и космология.
гл. 3 §§ 2-3, гл. 4, гл. 6. Или ещё подробней, но всё ещё с точки зрения физики:
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация.
т. 1 гг. 2-4, 8-11, 13-14.

[arseniiv]

tibon в сообщении #1057291 писал(а):

А как правильно следует это всё вводить и определять (символ Кронекера, поднятие и опускание индексов)?

Ну, символ Кронекера — это, в первую очередь, компоненты единичного оператора, а то, что они совпадают со значениями частных производных $\partial x^i/\partial x^j$ — это как-то отдельно. Возможно, я придираюсь.

Поднятие и опускание всё так же — через свёртку с $g_{ij}$ или $g^{ij}$. Я писал о том, что каким-то образом в книге появился $x_i$ до определения опускания, и непонятно, что этим хотели сказать авторы.

tibon в сообщении #1057291 писал(а):

Какова "внутренняя структура" тензора $g_{ij}$?

Можно ещё добавить ко всему написанному, что он симметричный, т. е. $g_{ij} = g_{ji}$. Это просто перефразированная симметричность скалярного произведения $(\mathbf u,\mathbf v) = (\mathbf v,\mathbf u)$.

tibon в сообщении #1057291 писал(а):

Потому что дальше (следующим абзацем) указывается, что легко видеть

$$ g_{ij}g^{jk} = \delta_{i}^{k}. $$

$g^{ij}$ — это, соответственно, скалярное произведение в пространстве ковекторов (1-форм; скалярнозначных линейных функций векторного аргумента), притом не абы какое, а совместимое с $g_{ij}$, что можно сформулировать как раз в виде процитированного равенства. Так что это можно считать определением $g^{ij}$, если мы начинали с $g_{ij}$.

(Интерлюдия на тему координат с, возможно, не самым правильным намёком на почему так определять.)

Вообще, конечно, координаты некоторые простые вещи делают не совсем ясными — особенно если не говорится, координатами разложения по какому базису они являются. Начиная с базиса $(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$ в пространстве векторов, мы можем наделать базисов в пространствах разных $(m,n)$-тензоров, начав с сопряжённого базиса $(\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n)$ пространства ковекторов такого, что $(\mathbf e^i,\mathbf e_j) = \delta^i_j$ для всех $i, j$; тут скобки показывают просто значение 1-формы $\mathbf e^i$ на аргументе $\mathbf e_j$. Дальше для (1, 1)-тензоров мы берём базис, состоящий из $\mathbf e^i\otimes\mathbf e_j$ и т. д., беря тензорные произведения стольки контравариантных и ковариантных базисных векторов, какой у тензора тип. После этого компоненты тензора — это просто его компоненты/координаты в базисе тензоров того же типа. Это, правда, относится только к «чистым» тензорам, исключая плотности и псевдотензоры, являющиеся элементами чуть более «расширенных» пространств. Но хотя бы понятно, откуда берутся координаты.

И вот у нас вдруг явилось скалярное произведение. Мы можем смотреть на него как на функцию от двух векторов, а можем один вектор туда подставить, а со вторым подождать: $(\mathbf u, \ldots)$. Получится функция вектора, возвращающая скаляр, притом по построению линейная — т. е. ковектор. Получается, скалярное произведение позволяет делать из вектора $\mathbf u$ ковектор $\mathbf f\colon \mathbf f(\mathbf v) = (\mathbf u,\mathbf v)$, т. е. опускать индекс. Теперь мы хотим определить скалярное произведение на ковекторах так, чтобы запись $(\ldots,\ldots)$ была равна одному и тому же независимо от того, «переделаем» ли мы в ней векторы в ковекторы. Для этого можно поискать билинейную форму от ковекторов такую, чтобы частичное применение к ней ковектора давало функцию, обратную частичному применению вектора к имеющемуся скалярному произведению, т. е. нужно $g^{ij}f_ig_{jk} = f_k$, откуда по определению дельты $g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k$, т. к. $a^i_jx_i = x_j$ означает, что $a$ — единичный оператор. (И теперь мы имеем $g^{ij}$ и можем поднимать индекс.)

P. S. Мы можем поднять/опустить индекс у самих $g_{ij}, g^{ij}$. При этом мы получим в обоих случаях $\delta^k_l$ просто по определению «второго» $g$, и это может показаться хоть и удивительно, но уж точно не нелогично. Теперь вы можете оценить недоумение от той книги.