Анализ: Неограниченная вторая производная

[Munin]

По поводу выражения

$$f''(0)\stackrel{?}{=}\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(0+2\Delta x)-2f(\Delta x)+f(0)}{\Delta x^2}$$

Если применить буквально определение второй производной, то получается другое выражение:

$$f''(0)=\lim_{\Delta_1 x\to 0}\,\lim_{\Delta_2 x\to 0}\dfrac{f(0+\Delta_1 x+\Delta_2 x)-f(\Delta_2 x)-f(\Delta_1 x)+f(0)}{\Delta_1 x\,\Delta_2 x}.$$

И вот вторая производная существует именно тогда, когда такой двойной предел существует. Ну а если он существует, то заметим, что

$$\lim_{\Delta_1 x\to 0}\lim_{\Delta_2 x\to 0}\not\equiv\lim_{\substack{\Delta_1 x\to 0\\\Delta_2 x\to 0}}\not\equiv\lim_{\substack{\Delta_1 x\to 0\\\Delta_2 x=\Delta_1 x}},$$

поскольку они соответствуют трём разным путям на плоскости $(\Delta_1 x,\Delta_2 x).$ Можно сказать только, что если второй предел существует, то он равен третьему, и если он существует, то он равен первому.

[GeometrIya]

Спасибо. Объяснение через последовательное применение пределов более интуитивно понятно (хотя не совсем ясно что такое "пути на плоскости $(\Delta_1 x, \Delta_2 x)$"). У Фихтенгольца этого нет.

GAA в [url=/post1056754.html#p1056754]сообщении #1056754[/url] писал(а):

2. При разложении косинуса мы не учитываем $\Delta x^4/2$ не потому что «и подавно квадрат этой величины будет ещё меньше», а сравнивая с показателем степени в знаменателе. Если записи делать занудно аккуратно, то следовало бы записать $\cos \Delta x^2 = 1 + o(\Delta x^3)$.

Ясно. В пределе $o(\Delta x^3)$ стремится к нулю быстрее чем $\Delta x^2$.

GAA в [url=/post1056754.html#p1056754]сообщении #1056754[/url] писал(а):

1. Нашли предел по правилу Лопиталя правильно, но поскольку предварительно не было доказано существование второй производной в нуле, то использование «конечных разностей» — незаконно. Пример из книги Фихтенгольца должен был это пояснить.[/math].

Тоже ясно, но с другой стороны непонятно - зачем тогда вообще нужны "конечные разности"? Ведь для возможности применения её формулы необходимо доказательство очень сильного требования - существования соответсвующей производной в данной точке - а это и есть нахождение искомого.

[Munin]

GeometrIya в сообщении #1056871 писал(а):

Объяснение через последовательное применение пределов более интуитивно понятно (хотя не совсем ясно что такое "пути на плоскости $(\Delta_1 x, \Delta_2 x)$"). У Фихтенгольца этого нет.

Мне на это уже попеняли. Ну, если неформально, то идея такая. Понятие предела расширяется до функций нескольких переменных. Таким образом, это будет какой-то предел в пространстве: в двумерном (на плоскости), в трёхмерном, в $n$-мерном. Если у нас есть плоскость $(x,y),$ и числовая функция на этой плоскости $f(x,y),$ заданная, например, везде кроме какой-то точки $A=(x_0,y_0),$ то можно обсудить предел при стремлении аргументов этой функции (то есть, точки на плоскости) к этой точке. Записывается это так:

$$\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)\qquad\textit{или}\qquad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y).$$

По сравнению с пределом на числовой прямой, возникает новое требование. Такой предел можно представить себе так, что мы подбираемся к точке $A$ по какой-то линии, не обязательно по прямой, например, $x=\varphi(t),\quad y=\psi(t),$ и тогда это будет обычным пределом

$$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=\lim\limits_{t\to t_0}f(\varphi(t),\psi(t)),$$

НО надо, чтобы такие обычные пределы были бы одинаковыми, какие бы линии на плоскости мы бы ни брали. Если пределы по разным линиям существуют, но между собой не совпадают, то тогда говорят, что предела в точке не существует. Пример: $f(x,y)=x/y.$

И наконец, что такое в такой ситуации $\lim\limits_{x\to 0}\,\lim\limits_{y\to 0}?$ Это мы должны читать "изнутри наружу" так: сначала у нас задана какая-то функция на плоскости $(x,y).$ Но задана она может быть не везде, но теперь - у нас может быть выколота не только точка $x=y=0,$ а целая прямая $y=0.$ А может быть, и не выколота, а там могут быть какие-нибудь "экзотические" значения - не важно. Сначала мы стремимся к этой прямой, перпендикулярно к ней (потому что "внутри" внешнего предела у нас задано какое-то значение $x=\mathrm{const}$), и затираем то, что было на прямой $y=0,$ какими-то другими значениями - взятыми по пределу. И у нас получается уже какая-то другая функция, может быть, отличающаяся от первоначальной. А дальше, мы смотрим на "внешний" предел, и по вот этой другой функции - мы уже движемся вдоль прямой $y=0$ к точке $x=y=0.$ Вот такое сложное приключение.

[GeometrIya]

Интуитивно всё понятно - было бы наверное правильно предположить что порядок выкалывания переменных в последовательных пределах важен и что в общем случае вычисленные таким образом пределы (наверное) равны не будут. Например в Вашем случае меняем $x$ и $y$ местами: $\lim\limits_{y \to 0}\,\lim\limits_{x \to 0}$. Внутренний предел $\lim\limits_{x \to 0}f(x, y)$ теперь зависит только от $x$. Поскольку $y$ варьируется произвольно, то мы можем приближаться бесконечно близко к прямой $x=0$ в бесконечном количестве разных мест и если такой предел суещствует, то это будет не число, а некая функция $\omega(y)$ которую, затем, подставляем во внешний предел: $\lim\limits_{y \to 0}\omega(y)$. Здесь наше движение уже ограничено - мы движемся к заданной точке $(0,0)$ вдоль (по) прямой $x=0$, а это уже предел от функции одной переменной и если он существует, то это уже д.б. просто число.

Я даже наверное соображу как (по Фихтенгольцу) записать определение предела функции двух переменных - это такое число $L$ что для любого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$ что $|f(x, y)-L}|<\epsilon$ как только $0<\sqrt{(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}<\delta$.

Спасибо. Для меня это высокие материи, мне бы разобраться в тонкостях ситуации с функциями одной переменной.

[Munin]

Всё правильно, по модулю опечатки: $0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta.$

На будущее, это записывают с использованием понятия нормы вектора (в просторечье - длины), и обозначают как $0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta.$ Нормы можно вводить, по идее, разные. Здесь - стандартная евклидова.

Или, можно ввести метрику - функцию расстояний между точками. Тогда обозначение будет $0<\rho(x,y,x_0,y_0)<\delta.$ Понятно, что метрика в данном случае тоже евклидова, а могут быть разные.

И наконец, понятие предела (и некоторые другие понятия) не испортится, если мы вообще перестанем опираться на круглые окрестности, а будем допускать окрестности разной формы. Например, можно заменить круг на квадрат, то есть, поставить условия $|x-x_0|<\delta,\quad|y-y_0|<\delta,$ и $x,y$ не равны одновременно нулю. Понятие предела будет то же самое, это можно доказать. Подробностей здесь упоминать не буду, это дорожка к целой ветви математики - к топологии, и основанных на ней разделах.


__________________________________________

На этом, Munin, прошу отступление в область функций многих переменных закончить.
GAA, 27.09.2015