Задача по динамике, кто знает?

[mydymka]

Добрый день, форумчане-студенты, помогите разобраться в ходе решения задачи.
Задача по динамике (интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки).

Материальная точка массой $3$ килограмма движется из начала координат вдоль горизонтальной оси, имея начальную скорость $7$ метров в секунду и испытывая действие позиционной силы $f=-0,27x$. Найти скорость $v$ и положение точки в момент времени $t=5$ секунд.

Мой ход решения:

Взяла дифф.уравнение
$m \cdot dv/dt=F$
($F=ma$ по сути),
$dv/dt=x''$ - вторая производная от перемещения по времени(ускорение)м,
в итоге получилось:
$x''+0,09x=0$

Далее начинаются сложности.Я перерыла кучу литературы по диффурам и способам их решения, ни один не подошел, кроме как через характеристическое уравнение в общем виде:
$\lambda^2+p\lambda+q=0$

в моем
$-\lambda^2+0,09=0$

в результате получаем корни $+0,3i$ и $-0,3i$ (комплексные числа), далее получается по решению, что
$x=C1\sin(0,3x)+C2\cos(0,3x)$

и что с этим делать чтоб найти скорость и положение точки я не знаю.
Может кто знает и сможет подсказать дальнейший ход решения или другой способ решения задачи?выручайте!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тут уместнее.

-- 10.03.2015, 02:14 --

mydymka в сообщении #986122 писал(а):

и что с этим делать чтоб найти скорость и положение точки я не знаю.

$C_1$ и $C_2$ - произвольные константы (и лучше обозначать их так). При этом Вы знаете, что в момент $t=0$ координата $x=0$, скорость в этот момент также известна. Отсюда можно определить значения констант.

Есть и второй вариант решения, более физический. Какое движение будет совершаться под действием силы, таким образом зависящей от координаты? Как связана полная механическая энергия материальной точки с параметрами этого движения?

[Sergey from Sydney]

mydymka в сообщении #986122 писал(а):

Я перерыла кучу литературы по диффурам и способам их решения, ни один не подошел

Странно, что вы, перерыв кучу литературы, не нашли уравнение гармонических колебаний.

Цитата:

$x=C_1\sin(0,3x)+C_2\cos(0,3x)$

У вас опечатка в формуле: $x$ под $\sin$ и $\cos$ Исправьте, а потом найдите константы из начальных условий, как вам советует Pphantom.

[DimaM]

Стандартный способ решения таких задач - нахождение потенциальной энергии, а затем вычисление связи координаты и времени с помощью уравнения

$$t_2-t_1=\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}}$$

($U(x)$ - потенциальная энергия, $E$ - полная энергия).
В вашем случае, как выше верно замечено, получаются гармонические колебания.

[Munin]

DimaM в сообщении #988113 писал(а):

Стандартный способ решения таких задач

В смысле, основной задачи механики? Вроде, есть несколько способов. Обычно они укладываются в небольшую книжку, как например, у Ландау и Лифшица, Арнольда, Маркеева.

[DimaM]

Munin в сообщении #988116 писал(а):

В смысле, основной задачи механики?

Частного ее случая - найти время движения по заданной зависимости потенциальной энергии (или силы) от координаты.

[Munin]

А чего здесь частного-то? Решать всё равно можно набором способов.

[mydymka]

Задача решена, всем спасибо за участие!

[Sicker]

Munin
А то, что можно обойтись без диффура