Непрерывность функционала в l2

[Koncopd]

$ J(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x_{2n}^2, x \in l_2$
Надо понять, является ли функционал непрерывным, полунепрерывным снизу, слабо непрерывным, выпуклым и слабо полунепрерывным снизу.
Что касается непрерывности, то вроде бы видно, что $J(x)\leq||x||_{l_2}$, так что если взять любую последовательность $ x_k \in l_2, x_k\to x_0\in l_2 $, то хочется оценить $|J(x_k)-J(x_0)|\leq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$. Но можно ли?

[iancaple]

Koncopd в сообщении #1056720 писал(а):

то вроде бы видно, что $J(x)\leq||x||_{l_2}$

Не совсем. $J(x)\leq||x||_{l_2}^2$

Цитата:

хочется оценить $|J(x_k)-J(x_0)|\leq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$. Но можно ли?

Есть неравенство в обратную сторону $|\;||x_k-x_0||\;|\geq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$ Тут технически сложно будет так в лоб. Я бы заметил, что данный функционал по смыслу мало отличается от квадрата нормы, а именно, это квадрат нормы проекции вектора $l_2$ на подпространство , в котором все нечетные координаты равны 0, ну и ссылаться на непрерывность нормы и свойства непрерывных функций вообще

[Koncopd]

iancaple в сообщении #1056727 писал(а):

Koncopd в сообщении #1056720 писал(а):

то вроде бы видно, что $J(x)\leq||x||_{l_2}$

Не совсем. $J(x)\leq||x||_{l_2}^2$

Цитата:

хочется оценить $|J(x_k)-J(x_0)|\leq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$. Но можно ли?

Есть неравенство в обратную сторону $|\;||x_k-x_0||\;|\geq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$ Тут технически сложно будет так в лоб. Я бы заметил, что данный функционал по смыслу мало отличается от квадрата нормы, а именно, это квадрат нормы проекции вектора $l_2$ на подпространство , в котором все нечетные координаты равны 0, ну и ссылаться на непрерывность нормы и свойства непрерывных функций вообще

Да, спасибо, про квадрат забыл.

В принципе вот такое на ум пришло. Возьмем отображение $f: l_2 \to l_2$, которое переводит все последовательности в последовательности с нулями на нечетных позициях, они тоже будут принадлежать $l_2$. Такое отображение вроде бы непрерывно.
$\forall x_0 \in l_2, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : 0<||x_0 - x||_{l_2}<\delta, ||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = J(x_0 - x)\leq ||x_0 - x||_{l_2}^2<\delta^2=\varepsilon$. И тогда нужный функционал будет композицией непрерывных функций $J(x) = ||\cdot||_{l_2}\circ f(x)$ и сам будет непрерывен. Вроде так.

[iancaple]

Я этот путь и имел в виду: композиция трех непрерывных отображений: проецирования,нормы(в подпространстве) и возведения действительного числа в квадрат -непрерывна.
А тут Вы хотели доказать непрерывность нормы?

Koncopd в сообщении #1056778 писал(а):

$\forall x_0 \in l_2, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : 0<||x_0 - x||_{l_2}<\delta, ||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = J(x_0 - x)\leq ||x_0 - x||_{l_2}^2<\delta^2=\varepsilon$.

Откуда взялось $|J(x_0-x)|$, функционал же не линеен. Работает упомянутое уже неравенство $\\;||x||-||x_0||\;|\leq ||x-x_0||$, которое просто следствие выпуклости нормы.

[Koncopd]

iancaple в сообщении #1056795 писал(а):

Я этот путь и имел в виду: композиция трех непрерывных отображений: проецирования,нормы(в подпространстве) и возведения действительного числа в квадрат -непрерывна.
А тут Вы хотели доказать непрерывность нормы?

Koncopd в сообщении #1056778 писал(а):

$\forall x_0 \in l_2, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : 0<||x_0 - x||_{l_2}<\delta, ||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = J(x_0 - x)\leq ||x_0 - x||_{l_2}^2<\delta^2=\varepsilon$.

Откуда взялось $|J(x_0-x)|$, функционал же не линеен. Работает упомянутое уже неравенство $\\;||x||-||x_0||\;|\leq ||x-x_0||$, которое просто следствие выпуклости нормы.

А, нет, здесь доказывается непрерывность отображения f последовательности в последовательность с нулями вместо нечетных членов. Там, правда, я опять напутал с квадратами. Равенство взялось просто из определения этого функционала $||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(x_{0,2n}-x_{2n})^2}=\sqrt{J(x_0-x)}$, только там должен корень стоять над ним еще, и должно быть $||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = \sqrt{J(x_0 - x)}\leq ||x_0 - x||_{l_2}<\delta = \varepsilon$. И в композиции тоже должен квадрат быть.