2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность функционала в l2
Сообщение25.09.2015, 23:12 


14/07/13
43
$ J(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x_{2n}^2, x \in l_2$
Надо понять, является ли функционал непрерывным, полунепрерывным снизу, слабо непрерывным, выпуклым и слабо полунепрерывным снизу.
Что касается непрерывности, то вроде бы видно, что $J(x)\leq||x||_{l_2}$, так что если взять любую последовательность $ x_k \in l_2, x_k\to x_0\in l_2 $, то хочется оценить $|J(x_k)-J(x_0)|\leq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$. Но можно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функционала в l2
Сообщение26.09.2015, 00:15 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Koncopd в сообщении #1056720 писал(а):
то вроде бы видно, что $J(x)\leq||x||_{l_2}$
Не совсем. $J(x)\leq||x||_{l_2}^2$
Цитата:
хочется оценить $|J(x_k)-J(x_0)|\leq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$. Но можно ли?
Есть неравенство в обратную сторону $|\;||x_k-x_0||\;|\geq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$ Тут технически сложно будет так в лоб. Я бы заметил, что данный функционал по смыслу мало отличается от квадрата нормы, а именно, это квадрат нормы проекции вектора $l_2$ на подпространство , в котором все нечетные координаты равны 0, ну и ссылаться на непрерывность нормы и свойства непрерывных функций вообще

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функционала в l2
Сообщение26.09.2015, 13:50 


14/07/13
43
iancaple в сообщении #1056727 писал(а):
Koncopd в сообщении #1056720 писал(а):
то вроде бы видно, что $J(x)\leq||x||_{l_2}$
Не совсем. $J(x)\leq||x||_{l_2}^2$
Цитата:
хочется оценить $|J(x_k)-J(x_0)|\leq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$. Но можно ли?
Есть неравенство в обратную сторону $|\;||x_k-x_0||\;|\geq|||x_k||_{l_2}-||x_0||_{l_2}|$ Тут технически сложно будет так в лоб. Я бы заметил, что данный функционал по смыслу мало отличается от квадрата нормы, а именно, это квадрат нормы проекции вектора $l_2$ на подпространство , в котором все нечетные координаты равны 0, ну и ссылаться на непрерывность нормы и свойства непрерывных функций вообще

Да, спасибо, про квадрат забыл.

В принципе вот такое на ум пришло. Возьмем отображение $f: l_2 \to l_2$, которое переводит все последовательности в последовательности с нулями на нечетных позициях, они тоже будут принадлежать $l_2$. Такое отображение вроде бы непрерывно.
$\forall x_0 \in l_2, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : 0<||x_0 - x||_{l_2}<\delta, ||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = J(x_0 - x)\leq ||x_0 - x||_{l_2}^2<\delta^2=\varepsilon$. И тогда нужный функционал будет композицией непрерывных функций $J(x) = ||\cdot||_{l_2}\circ f(x)$ и сам будет непрерывен. Вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функционала в l2
Сообщение26.09.2015, 15:02 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Я этот путь и имел в виду: композиция трех непрерывных отображений: проецирования,нормы(в подпространстве) и возведения действительного числа в квадрат -непрерывна.
А тут Вы хотели доказать непрерывность нормы?
Koncopd в сообщении #1056778 писал(а):
$\forall x_0 \in l_2, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : 0<||x_0 - x||_{l_2}<\delta, ||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = J(x_0 - x)\leq ||x_0 - x||_{l_2}^2<\delta^2=\varepsilon$.
Откуда взялось $|J(x_0-x)|$, функционал же не линеен. Работает упомянутое уже неравенство $\\;||x||-||x_0||\;|\leq ||x-x_0||$, которое просто следствие выпуклости нормы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функционала в l2
Сообщение26.09.2015, 17:28 


14/07/13
43
iancaple в сообщении #1056795 писал(а):
Я этот путь и имел в виду: композиция трех непрерывных отображений: проецирования,нормы(в подпространстве) и возведения действительного числа в квадрат -непрерывна.
А тут Вы хотели доказать непрерывность нормы?
Koncopd в сообщении #1056778 писал(а):
$\forall x_0 \in l_2, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : 0<||x_0 - x||_{l_2}<\delta, ||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = J(x_0 - x)\leq ||x_0 - x||_{l_2}^2<\delta^2=\varepsilon$.
Откуда взялось $|J(x_0-x)|$, функционал же не линеен. Работает упомянутое уже неравенство $\\;||x||-||x_0||\;|\leq ||x-x_0||$, которое просто следствие выпуклости нормы.

А, нет, здесь доказывается непрерывность отображения f последовательности в последовательность с нулями вместо нечетных членов. Там, правда, я опять напутал с квадратами. Равенство взялось просто из определения этого функционала $||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(x_{0,2n}-x_{2n})^2}=\sqrt{J(x_0-x)}$, только там должен корень стоять над ним еще, и должно быть $||f(x_0) - f(x)||_{l_2} = \sqrt{J(x_0 - x)}\leq ||x_0 - x||_{l_2}<\delta = \varepsilon$. И в композиции тоже должен квадрат быть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group