Дифференциальное уравнение с рациональными решениями

[DLL]

Пусть ОДУ второго порядка, разрешенное относительно старшей производной:

$$y'' + f(x,y,y') = 0,$$

где $f$ - рациональная функция своих переменных, имеет рациональное общее решение

$$y = F(x,C_1,C_2),$$

то есть $F$ - также рациональная функция своих переменных.

Всегда ли такие ОДУ обладают точечными симметриями? Экспериментально у меня получается, что ответ положительный. Но теоретическую базу подвести под это не удается

DLL в сообщении #1055773 писал(а):

Сорри, опечатка! Вместо

$$ y = f(x,C_1,C_2) $$

надо читать

$$ y = F(x,C_1,C_2).$$

Deggial: формула поправлена.

[Lia]

Фрагмент дискуссии, не привносящий в нее ничего нового, отделен сюда.

[пианист]

Не знаю, может, дурацкий совет, но: не посмотреть ли в сторону преобразований, сохраняющих такой вид уравнения?

[DLL]

Хорошая мысль. По идее это должно быть тесно связано с теорией алгебраических функций.
Дело в том, что симметрий (экспериментально) не просто много, а алгебра 8-мерная, что является исключительным случаем.