Решил написать еще одно сообщение.
Сформулированные выше условия гашения колебаний можно переписать в комплексной форме

и тогда уродливая тригонометрия превращается в изящную геометрию

--- три единичных вектора должны замкнуться в правильный треугольник, с тем же, теперь уже очевидным решением

,

. Но радость еще и в том, что подобное представление позволяет проанализировать и плавный старт/остановку каретки. Пусть старт каретки в начальный момент времени происходит по закону

, где

отлична от нуля на малом промежутке времени

и пусть

Пусть, аналогично, остановка каретки в начальный момент времени происходит по закону

и

Тогда условие гашения колебаний приобретает вид

Решение существует при

, причем

,

. В частном случае, когда остановка --- это прокрученный обратно по времени старт,

, имеем

, так что условие

выполняется автоматически, а

. Если старт к тому же симметричен,

(например, постоянное ускорение в промежутке времени
![$[-\Delta/2,\Delta/2]$ $[-\Delta/2,\Delta/2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17ff2401fa7895acc196dced52d3f7ef82.png)
), то

вещественно, и решение в точности такое же, как для мгновенного разгона
