Показательное уравнение

[phoboslol]

Требуется решить уравнение $3^x + 3^{x^2} = 2^x + 4^{x^2}$.
Очевидно, корни $x = 0$ и $x = 1$, больше корней нет.

Надо доказать почему больше корней нет.
При $x < 0$ очевидно неравенство $3^x + 3^{x^2} < 2^x + 4^{x^2}$, соответственно там корней нет.
Не очень понятно, что делать с промежутками $0 < x < 1$ и $1 < x$.

Пытался при помощи производной доказать, в т.ч. методом двух пешеходов и пр.
Можно рассмотреть функцию $3^x + 3^{x^2} - 2^x - 4^{x^2}$
То есть мысль какая: нужно показать, что при $0 < x < 1$ $f(x) > 0$, а при $x > 1$ $f'(x) < 0$ или $f(x) < 0$.

Может быть есть мысли, как еще можно сделать или можно ли доделать методом с производной?

[demolishka]

phoboslol в сообщении #1055807 писал(а):

нужно показать

Ну так покажите. Вы даже производной не написали.

[Mihaylo]

Ваше предположение о том, что правая часть уравнения растет быстрее левой подтверждается.
Если взять производные, предположить неравенство, то можно получить неравенство вида $A\leqslant B\cdot C$, где $B>1$ и $C\geqslant A$ при $x\geqslant 1$.

[phoboslol]

demolishka в сообщении #1055816 писал(а):

Ну так покажите. Вы даже производной не написали.

$f'(x) = 3^x\log 3 + 2x 3^{x^2} \log 3 + 2^x\log 2 + 2x 4^{x^2}\log 4 $

Я пытался показать разными способами, в т.ч. при помощи производной, но она не так сильно отличается от исходной функции и задач узнать, каких она знаков, равносильна исходной.

[provincialka]

Хм... навскидку.. Может, переписать уравнение в виде $3^x - 2^x = 4^{x^2} - 3^{x^2}$? Не знаю, что из этого выйдет, но вид какой-то более симметричный, на мой взгляд...
Например, можно сравнить оба выражения с $4^x-3^x$ (не пробовала элементарными средствами )

[Mihaylo]

phoboslol, со знаками осторожнее.
Вспомните, что $3^x=2^{x\log_2 3}$.

[phoboslol]

provincialka, так тоже пытался, элементарными методами действительно не понятно как делать.
Mihaylo, отличная идея, спасибо. Со знаками напутал, да.
Попробую это подставить, должно что-то хорошее выйти

[provincialka]

phoboslol
Ну, не совсем элементарными! Просто не такие сложные выражения рассматривать. Например, введем функцию $f(a,x) =(a+1)^x-a^x$. Надо решить уравнение $f(2,x) = f(3,x^2)$.
На графике видно, что значение $f(3,x)$ всегда лежит между этими значениями. Но оно отличается от каждого только по одной переменной! А ведь поведение по одной переменной исследовать легче.

-- 22.09.2015, 23:28 --

Изменение функции $f(a,x)$ по первому аргументу можно исследовать через вторую разность функции $a^x$ как функции от $a$ (то есть степенной). Что сводится к направлению ее выпуклости.

[GDTD]

Можно воспользоваться неравенством Йенсена. Функция $f(y)=y^x$ ($x$ - параметр) строго выпукла вверх при $x\in(0,1)$, поэтому $\frac{2^x+4^x}{2}<(\frac{2+4}{2})^x=3^x$. Тогда $\frac{2^x+4^x+2^{x^2}+4^{x^2}}{2}<3^x+3^{x^2}$. Покажем, что $2^x+4^{x^2}<\frac{2^x+4^x+2^{x^2}+4^{x^2}}{2}$ или

$$4^{x^2}-2^{x^2}<4^x-2^x.\eqno (1)$$

Для этого левую и правую части разложим в ряд Тейлора

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}((\ln 4)^n-(\ln 2)^n)}{n!}<\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n((\ln 4)^n-(\ln 2)^n)}{n!}.$$

Так как $x^{2n}<x^n$ при $x\in(0,1)$, то неравенство (1) верно и уравнение $2^x+4^{x^2}=3^x+3^{x^2}$ не имеет корней на интервале $(0,1)$. На промежутке $(1,+\infty)$ попробуйте доказать, что $2^x+4^{x^2}>3^x+3^{x^2}$.

[sergei1961]

При $x>1$ мне кажется можно доказать с помощью теоремы Лагранжа о среднем.

-- 26.09.2015, 19:27 --

Набросок решения. Пусть сначала $x>1$. Рассмотрим две различные при этих $x$ функции $f(t)=t^x, g(t)=t^{x^2}$. Тогда нужно доказать, что $f(3)-f(2)<g(4)-g(3)$. По формуле Лагранжа получаем, что

$$ a^x\ln a < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4. $$

Но при $x>1$ имеем

$$ a^x\ln a < 3^x \ln 3< 3^{x^2}\ln 3 < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4, $$

что и требовалось доказать. Мне кажется, то же самое проходит и при $0<x<1$. Метод не работает, когда обе функции одинаковые, то есть как раз при $x=0, x=1$.

[provincialka]

GDTD
Ну, ряд Тейлора -- это уж слишком сильно!
sergei1961
Мне кажется, что в этой задаче лучше объединить два подхода. В цепочке $3^x-2^x \#4^x-3^x\#4^{x^2}-3^{x^2}$ на месте решеток стоят одноименные знаки неравенства. Такие же, как в $0\# x^2-x$. Причем первое соотношение вытекает из направления выпуклости $t^x$ как функции от $t$, а второе можно проверить с помощью формулы конечных приращений.

[sergei1961]

Выпуклость можно заменить стандартным неравенством для средних, когда функции без квадратов, сравнивая среднее порядка $x$ с арифметическим.

[provincialka]

В общем, куча способов! Осталось дождаться ТС )

[GDTD]

provincialka в сообщении #1056855 писал(а):

GDTD
Ну, ряд Тейлора -- это уж слишком сильно!

Да, ряд Тейлора я зря использовал. Если обозначить $f(x)=4^x-2^x$, то $f(x^2)<f(x)$, т.к. функция $f(x)$ возрастает на $(0,1)$ (производная $f^\prime$ положительна) и $x^2<x$.

sergei1961 в сообщении #1056849 писал(а):

По формуле Лагранжа получаем, что

$$ a^x\ln a < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4. $$

Но при $x>1$ имеем

$$ a^x\ln a < 3^x \ln 3< 3^{x^2}\ln 3 < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4, $$

что и требовалось доказать.

Эти неравенства тривиальны при $x>1$. Так как у Вас $a<b$, $x<x^2$, то естественно $a^x\ln a < b^{x^2}\ln b$. Непонятно, что это доказывает.

[sergei1961]

Доказывает, что одна часть перегруппированного уравнения строго меньше другой, значит, не может быть равна.