2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 14:46 


11/11/14
14
Требуется решить уравнение $3^x + 3^{x^2} = 2^x + 4^{x^2}$.
Очевидно, корни $x = 0$ и $x = 1$, больше корней нет.

Надо доказать почему больше корней нет.
При $x < 0$ очевидно неравенство $3^x + 3^{x^2} < 2^x + 4^{x^2}$, соответственно там корней нет.
Не очень понятно, что делать с промежутками $0 < x < 1$ и $1 < x$.

Пытался при помощи производной доказать, в т.ч. методом двух пешеходов и пр.
Можно рассмотреть функцию $3^x + 3^{x^2} - 2^x - 4^{x^2}$
То есть мысль какая: нужно показать, что при $0 < x < 1$ $f(x) > 0$, а при $x > 1$ $f'(x) < 0$ или $f(x) < 0$.

Может быть есть мысли, как еще можно сделать или можно ли доделать методом с производной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
phoboslol в сообщении #1055807 писал(а):
нужно показать

Ну так покажите. Вы даже производной не написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 16:15 


12/07/15
2907
г. Чехов
Ваше предположение о том, что правая часть уравнения растет быстрее левой подтверждается.
Если взять производные, предположить неравенство, то можно получить неравенство вида $A\leqslant B\cdot C$, где $B>1$ и $C\geqslant A$ при $x\geqslant 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 16:37 


11/11/14
14
demolishka в сообщении #1055816 писал(а):
Ну так покажите. Вы даже производной не написали.

$f'(x) = 3^x\log 3 + 2x 3^{x^2} \log 3  + 2^x\log 2 + 2x 4^{x^2}\log 4 $

Я пытался показать разными способами, в т.ч. при помощи производной, но она не так сильно отличается от исходной функции и задач узнать, каких она знаков, равносильна исходной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Хм... навскидку.. Может, переписать уравнение в виде $3^x - 2^x  = 4^{x^2} - 3^{x^2}$? Не знаю, что из этого выйдет, но вид какой-то более симметричный, на мой взгляд...
Например, можно сравнить оба выражения с $4^x-3^x$ (не пробовала элементарными средствами :-( )

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 17:08 


12/07/15
2907
г. Чехов
phoboslol, со знаками осторожнее.
Вспомните, что $3^x=2^{x\log_2 3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 18:48 


11/11/14
14
provincialka, так тоже пытался, элементарными методами действительно не понятно как делать.
Mihaylo, отличная идея, спасибо. Со знаками напутал, да.
Попробую это подставить, должно что-то хорошее выйти

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение22.09.2015, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
phoboslol
Ну, не совсем элементарными! Просто не такие сложные выражения рассматривать. Например, введем функцию $f(a,x) =(a+1)^x-a^x$. Надо решить уравнение $f(2,x) = f(3,x^2)$.
На графике видно, что значение $f(3,x)$ всегда лежит между этими значениями. Но оно отличается от каждого только по одной переменной! А ведь поведение по одной переменной исследовать легче.

-- 22.09.2015, 23:28 --

Изменение функции $f(a,x)$ по первому аргументу можно исследовать через вторую разность функции $a^x$ как функции от $a$ (то есть степенной). Что сводится к направлению ее выпуклости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 16:02 


16/02/13
49
Можно воспользоваться неравенством Йенсена. Функция $f(y)=y^x$ ($x$ - параметр) строго выпукла вверх при $x\in(0,1)$, поэтому $\frac{2^x+4^x}{2}<(\frac{2+4}{2})^x=3^x$. Тогда $\frac{2^x+4^x+2^{x^2}+4^{x^2}}{2}<3^x+3^{x^2}$. Покажем, что $2^x+4^{x^2}<\frac{2^x+4^x+2^{x^2}+4^{x^2}}{2}$ или $$4^{x^2}-2^{x^2}<4^x-2^x.\eqno (1)$$ Для этого левую и правую части разложим в ряд Тейлора $$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}((\ln 4)^n-(\ln 2)^n)}{n!}<\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n((\ln 4)^n-(\ln 2)^n)}{n!}.$$ Так как $x^{2n}<x^n$ при $x\in(0,1)$, то неравенство (1) верно и уравнение $2^x+4^{x^2}=3^x+3^{x^2}$ не имеет корней на интервале $(0,1)$. На промежутке $(1,+\infty)$ попробуйте доказать, что $2^x+4^{x^2}>3^x+3^{x^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 18:17 


25/08/11

1074
При $x>1$ мне кажется можно доказать с помощью теоремы Лагранжа о среднем.

-- 26.09.2015, 19:27 --

Набросок решения. Пусть сначала $x>1$. Рассмотрим две различные при этих $x$ функции $f(t)=t^x, g(t)=t^{x^2}$. Тогда нужно доказать, что $f(3)-f(2)<g(4)-g(3)$. По формуле Лагранжа получаем, что
$$
a^x\ln a < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4.
$$
Но при $x>1$ имеем
$$
a^x\ln a < 3^x \ln 3< 3^{x^2}\ln 3 < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4,
$$
что и требовалось доказать. Мне кажется, то же самое проходит и при $0<x<1$. Метод не работает, когда обе функции одинаковые, то есть как раз при $x=0, x=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
GDTD
Ну, ряд Тейлора -- это уж слишком сильно!
sergei1961
Мне кажется, что в этой задаче лучше объединить два подхода. В цепочке $3^x-2^x \#4^x-3^x\#4^{x^2}-3^{x^2}$ на месте решеток стоят одноименные знаки неравенства. Такие же, как в $0\# x^2-x$. Причем первое соотношение вытекает из направления выпуклости $t^x$ как функции от $t$, а второе можно проверить с помощью формулы конечных приращений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 19:03 


25/08/11

1074
Выпуклость можно заменить стандартным неравенством для средних, когда функции без квадратов, сравнивая среднее порядка $x$ с арифметическим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В общем, куча способов! Осталось дождаться ТС )

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 20:22 


16/02/13
49
provincialka в сообщении #1056855 писал(а):
GDTD
Ну, ряд Тейлора -- это уж слишком сильно!

Да, ряд Тейлора я зря использовал. Если обозначить $f(x)=4^x-2^x$, то $f(x^2)<f(x)$, т.к. функция $f(x)$ возрастает на $(0,1)$ (производная $f^\prime$ положительна) и $x^2<x$.
sergei1961 в сообщении #1056849 писал(а):
По формуле Лагранжа получаем, что
$$
a^x\ln a < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4.
$$
Но при $x>1$ имеем
$$
a^x\ln a < 3^x \ln 3< 3^{x^2}\ln 3 < b^{x^2}\ln b, 2<a<3, 3<b<4,
$$
что и требовалось доказать.

Эти неравенства тривиальны при $x>1$. Так как у Вас $a<b$, $x<x^2$, то естественно $a^x\ln a < b^{x^2}\ln b$. Непонятно, что это доказывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательное уравнение
Сообщение26.09.2015, 22:38 


25/08/11

1074
Доказывает, что одна часть перегруппированного уравнения строго меньше другой, значит, не может быть равна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group