Доказательства по кардиналам

[ervadi]

Читал, о теореме Кёнига ограничивающую сверху количество
промежуточных множеств, если континуум-гипотеза неверна.
Ищу доказательство этой теоремы или аналогичных новых
теорем.
Ищу также доказательство того, что для каждого кардинала
существует следующий и между ними нет промежуточных.

[Brukvalub]

Какие источники вы уже перерыли в своих поисках?

[Someone]

ervadi в сообщении #1050328 писал(а):

Читал, о теореме Кёнига ограничивающую сверху количество
промежуточных множеств, если континуум-гипотеза неверна.

??? Впервые о таком слышу.

Кстати, есть теорема Д. Кёнига и теорема Ю. Кёнига. Вы которую имеете в виду, и как она ограничивает количество "промежуточных множеств"? Или имелись в виду промежуточные кардиналы? Между чем и чем?

[ervadi]

Промежуточных кардиналов между континуумом и счетным множеством.
Упоминается у Кановея в "Аксиоме выбора и аксиоме детерминированости"
там количество не больше предельного кардинала счетной кофинальности
и у Подвинекса "Вокруг теоремы Геделя" - там просто не может быть несчетно.
Нарыл статью Кановея "Об одном следствии аксиомы Мартина"
(Математические заметки 1979, том 26 вып 1) что континуум может быть
больше кардинала Мало (относится к большым кардиналам).

[Someone]

ervadi в сообщении #1050559 писал(а):

Промежуточных кардиналов между континуумом и счетным множеством.

Я припоминаю только одно ограничение на континуум $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ (предполагается ZFC): континуум не является суммой счётного множества меньших кардиналов.

ervadi в сообщении #1050559 писал(а):

Нарыл статью Кановея "Об одном следствии аксиомы Мартина" (Математические заметки 1979, том 26 вып 1) что континуум может быть
больше кардинала Мало (относится к большым кардиналам).

Я нашёл эту статью. В ней ничего подобного не утверждается, Вы просто не поняли, о чём там идёт речь. Теорема 1.1 говорит не о соотношении континуума и кардинала Мало, а о соотношении кардиналов в разных моделях: если имеется модель теории множеств, в которой выполняются аксиомы ZFC, MA, LA и ¬CH, то можно построить другую модель ZFC, такую, что тот кардинал, который в первой модели был $\aleph_1$, во второй будет кардиналом Мало. Эта теорема относится к теории моделей, а не к теории множеств.

Вообще, запомните пожалуйста, что мощность множества не является абсолютным понятием: если ZFC непротиворечива, то по теореме Лёвенгейма — Скулема она имеет счётную модель. В частности, все множества этой модели, какую бы мощность они в ней ни имели, с точки зрения метатеории являются счётными.

ervadi в сообщении #1050559 писал(а):

Упоминается у Кановея в "Аксиоме выбора и аксиоме детерминированости"
там количество не больше предельного кардинала счетной кофинальности
и у Подвинекса "Вокруг теоремы Геделя" - там просто не может быть несчетно.

Уточните, пожалуйста. Приведите точные цитаты с указанием точного места в тексте. Обе работы очень большие, и разыскивать там непонятно какие упоминания…

P.S. Не "Подвинекс", а Подниекс.
P.P.S. Если в цитатах будут формулы, оформите их, пожалуйста, как полагается (http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html, http://dxdy.ru/topic45202.html). Чтобы не иметь неприятностей из-за нарушения правил форума.

[ervadi]

У Кановея на стр.16-17 :

Цитата:

Второй спорный момент заключается в том,что помещая с в ряд алефов, аксиома выбора не дает информации о том, с каким кардиналом
$\aleph _ {\xi}$ совпадает эта мощность .
Известно только ... что $\xi$ не может быть предельным ординалом счетной кофинальности (теорема Кёнига)

У Подниекса на стр 59:

Цитата:

... и далее $с\ne\aleph_{\alpha}$ если $\alpha$ счетный предельный ординал

.

(Оффтоп)

Почему-то глючит LaTeX помощник

Т.е. меньше несчетного ординала ?
А что для произвольного кардинала?

[Someone]

Кановей писал(а):

Известно только, что $\xi\geqslant 1$ и что $\xi$ не может быть предельным ординалом счетной конфинальности (теорема Кёнига).

ervadi в сообщении #1050559 писал(а):

Промежуточных кардиналов между континуумом и счетным множеством.
Упоминается у Кановея в "Аксиоме выбора и аксиоме детерминированости"
там количество не больше предельного кардинала счетной кофинальности

Вы полагаете, что Вы написали то же самое, что написано у Кановея? У Кановея написано правильно (и эквивалентно тому, что написал я). Это утверждение действительно следует из теоремы Ю. Кёнига. У Вас написана какая-то ерунда.

То, что Вы процитировали из Подниекса — это опять то же утверждение, что у Кановея, но почему-то ограниченное счётными ординалами. Это вызывает подозрения, что Подниекс плохо понимает то, о чём взялся рассуждать.

Подниекс писал(а):

американский математик Поль
Коэн доказал (в 1963 г.), что эти надежды все же беспочвенны:

$$\mathrm{Con(ZF)\rightarrow Con(ZFC+\dq\mathfrak c=\aleph_2\dq)},$$

$$\mathrm{Con(ZF)\rightarrow Con(ZFC+\dq\mathfrak c=\aleph_3\dq)},$$

…
и вообще

$$\mathrm{Con(ZF)\rightarrow Con(ZFC+\dq\mathfrak c=\aleph_{\alpha+1}\dq)},$$

для любого конечного или счетного ординала $\alpha$.

Мне пришлось найти оригинальные статьи П. Коэна "The Independence of the Continuum Hypothesis" I и II, опубликованные в 50 (1963) и 51 (1964) томах Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, чтобы убедиться, что там нет ограничения счётными ординалами. Переводы этих статей на русский язык существуют, но в электронном виде их, похоже, нет. С этими результатами проще познакомиться по книге П. Дж. Коэна "Теория множеств и континуум-гипотеза" ("Мир", Москва, 1969).

Советую не читать более работу К. М. Подниекса и вообще избегать чтения трудов околоматематических философов. Они научат Вас плохому.

P.S. Упомянутый выше Ю. Кёниг — это J. König. Можно обнаружить, что инициал "J." на русский язык "переводят" как минимум тремя способами: "Ю.", "Й." и "Дж.".

[ervadi]

Спасибо за объяснения!

Цитата:

У Вас написана какая-то ерунда.

Цитата:

..избегать чтения трудов околоматематических философов. Они научат Вас плохому.

В рунете в основном философы. Правда нашел статью Манина
"О проблеме континуума" с изложение докательств Геделя и Коэна.
И вот этот обзор новых результатов:
http://logic.harvard.edu/EFI_CH.pdf
А как насчет:

Цитата:

..доказательство того, что для каждого кардинала
существует следующий и между ними нет промежуточных

Почему невозможен континуум кардиналов?
Слышал, это противоречит аксиоме выбора - полной или достаточно счетной?
А для больших кардиналов?

(Оффтоп)

Прокоментируйте, пожалуйста тему:
http://dxdy.ru/topic100334.html
Надеюсь там ошибок меньше

[Someone]

ervadi в сообщении #1055745 писал(а):

В рунете в основном философы.

Вот и не читайте их.

ervadi в сообщении #1055745 писал(а):

Почему невозможен континуум кардиналов?

Между $\aleph_0$ и $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$? Впервые слышу. Я же ясно сказал: единственное известное ограничение состоит в том, что $\mathfrak c$ нельзя представить как сумму счётного числа кардиналов, каждый из которых $<\mathfrak c$. Даже неизвестно, является ли континуум регулярным кардиналом. Вот больше континуума промежуточных кардиналов быть действительно не может, но это тривиальность.
Может быть, я сильно отстал? Тогда пусть кто-нибудь напишет, каково сейчас состояние дел в этом вопросе.

-- Вт сен 22, 2015 12:41:17 --

ervadi в сообщении #1055745 писал(а):

Слышал, это противоречит аксиоме выбора - полной или достаточно счетной?

Пожалуйста, точную цитату оттуда, где Вы это "слышали", с точной ссылкой.

ervadi в сообщении #1055745 писал(а):

И вот этот обзор новых результатов:

Спасибо, почитаю.
Кстати, имейте в виду, что там на странице 4 явная опечатка:

Цитата:

This is a special case of the generalized continuum hypothesis (GCH) which asserts that for all  $\alpha\geqslant\omega$, $2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}.$

Тут явно должно быть $\alpha\geqslant 0$.

ervadi в сообщении #1055745 писал(а):

Прокоментируйте, пожалуйста тему:
http://dxdy.ru/topic100334.html
Надеюсь там ошибок меньше

ervadi в сообщении #1047103 писал(а):

Что за гипотеза в теории множеств 0# ?
Объясните пожалуйста, непонятно что за неразличимые формулы и кардиналы
возникают если она верна и к чему приводит существование неконструктивных множеств целых чисел. http://en.wikipedia.org/wiki/Ineffable_cardinal
Если гипотеза неверна то верна аксиома конструктивности.
https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_sharp
А если гипотеза недоказуема?

Я этими вещами не занимался, поэтому пояснить не могу. Но то, что Вы пишете, ссылаясь на Википедию — ерунда. В Википедии ничего подобного не утверждается.

Указанная в Википедии гипотеза существования множества $0^{\#}$ является недоказуемой в ZFC (и неопровержимой), о чём в Википедии и идёт речь.
Если множество $0^{\#}$ не существует, то аксиома конструктивности отсюда не следует, о чём в Википедии также сказано достаточно ясно.

Вы напрасно лезете в такие вопросы. Вам бы научиться правильно понимать простой математический текст.

[ervadi]

Цитата:

Между $\aleph_0$ и $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$

Вообще.
Русская википедия , статья "Мощность множества":

Цитата:

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа $\kappa$ можно определить следующее за ним число ${\kappa}+1$ , причём между $\kappa$ и ${\kappa}+1$ нет других кардинальных чисел

Это та теорема ?
http://planetmath.org/konigstheorem

[Someone]

ervadi в сообщении #1056105 писал(а):

Цитата:

Между $\aleph_0$ и $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$

Вообще.

Что значит "вообще"?

ervadi в сообщении #1056105 писал(а):

Русская википедия , статья "Мощность множества":

Цитата:

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа $\kappa$ можно определить следующее за ним число ${\kappa}+1$ , причём между $\kappa$ и ${\kappa}+1$ нет других кардинальных чисел

"Процитированное" Вами — полный бред. Вы умышленно исказили цитату? Там написано совсем не так:

Википедия писал(а):

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа $\kappa$ можно определить следующее за ним число $\kappa^+>\kappa$, причём между $\kappa$ и $\kappa^+$ нет других кардинальных чисел.

У меня уже появились нехорошие подозрения. Если я увижу, что они оправдываются, дискуссия прекратится.

А вообще, надо не собирать всякий мусор по Интернету, а взять хорошую книгу по теории множеств и изучать теорию множеств по книге. Например:
К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

ervadi в сообщении #1056105 писал(а):

Это та теорема ?
http://planetmath.org/konigstheorem

Да, это та самая теорема Кёнига, из которой следует, что $2^{\aleph_0}$ не является суммой счётного множества меньших кардиналов.

[ervadi]

Нет, не умышлено

Цитата:

При соблюдении аксиомы выбора для каждого кардинального числа можно определить следующее за ним число

Так, доказательство этого есть? Следует из теоремы Кёнига?

Цитата:

А вообще, надо не собирать всякий мусор по Интернету..

Обзор, что я выложил, настолько плох?

Цитата:

..а взять хорошую книгу по теории множеств и изучать теорию множеств по книге. Например: К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств

Спасибо.

[Someone]

ervadi в сообщении #1057099 писал(а):

Обзор, что я выложил, настолько плох?

Я не имел в виду данный обзор. Наряду со всяким мусором иногда может попасться и что-нибудь хорошее, но судить о том, что мусор, а что нет, Вы сможете только после того, как изучите соответствующую область знания.

ervadi в сообщении #1057099 писал(а):

Так, доказательство этого есть? Следует из теоремы Кёнига?

Теорема Кёнига к этому вообще никакого отношения не имеет. Изучайте теорию, в ходе изучения вопрос прояснится. Существование следующего кардинала при справедливости аксиомы выбора следует из свойств ординалов.

[ervadi]

Цитата:

Существование следующего кардинала при справедливости аксиомы выбора следует из свойств ординалов

В книге Мостовского что-то об этом есть.
Еще раз спасибо, буду изучать.

[Someone]

ervadi в сообщении #1057191 писал(а):

В книге Мостовского что-то об этом есть.

Какую? "Конструктивные множества и их приложения"? Категорически не рекомендую. Во-первых, это не теория множеств, а теория моделей. Соответственно, это не сама теория множеств, а метатеория для неё. Во-вторых, читать её нельзя до подробного изучения и освоения теории множеств. Я уже насмотрелся в вашей теме самого превратного понимания прочитанного, а здесь вообще будет полная каша.