Квантование момента

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1054945 писал(а):

Ну так операторная норма в $L^2$ будет меньше чем $\|V\|_{L^\infty}$ и все как я сказал.

Ещё раз спасибо!

Red_Herring в сообщении #1054945 писал(а):

ЛЛ3. Разумеется эта книга написана очень давно и тогда физики относились к функану более разгильдяйски чем сейчас.

А чего не столь разгильдяйского вы можете посоветовать, однако всё-таки для физиков (и их математического уровня), а не для математиков?

[Red_Herring]

Вот книга Бирмана и Соломяка родилась из спецкурсов читанных на математическом (Соломяком) и физическом (Бирманым) факультетах ЛГУ.

Я уже упоминал, что существенный спектр не изменяется привозмущении компактным оператором (а дискретный спектр может измениться, причем с.з. может не сдвинуться, а просто исчезнуть или появиться). С другой стороны при возмущении малыми по операторной норме изолированное с.з. либо немного сдвигается, либо распадается (с сохранением суммарной кратности). А вот судьба с.з. принадлежащего существенному спектру (т.е. либо бесконечнократное, либо неизолированное) неопределена.

[Munin]

Спасибо за книгу!

[ИгорЪ]

Munin
Я видимо туплю по черному. Вы можете мне показать где это бесконечно кратное вырождение в формуле $M\psi=m\psi$?

[g______d]

Потому что по $r$ бесконечнократное вырождение. $\psi$ можно умножать на любую функцию от $r$ и получать то же собственное число.

[ИгорЪ]

Так и знал, но разве это общепринятый жаргон в физике? Можно умножать, а можно и сокращать

-- Сб сен 19, 2015 22:36:34 --

Как же мне переформулировать свой изначальный вопрос , чтобы вынести эту филологическую проблему за скобку?

[Red_Herring]

ИгорЪ в сообщении #1055021 писал(а):

эту филологическую проблему за скобку?

Это не филологическая проблема. Это вопрос о том, в каком функциональном пространстве Вы берете $\psi$, от каких переменных зависит. Если только от полярного угла (функция на окружности), никакого вырождения нет. Если же Вы приделаете ещё одну координату $r$, то выскакивает вырождение. Разница видна если Вы начинаете возмущать оператор: в первом случае с.з. было простое, и оно сдвигается; во втором—как правило распадается. А все потому, что во втором случае Вы можете возмущать $-i\hbar\partial_\theta$ добавляя $V(r)$

[g______d]

ИгорЪ в сообщении #1055021 писал(а):

Так и знал, но разве это общепринятый жаргон в физике?

Мне казалось, что уровни Ландау (про которые говорилось выше) принято и в физике тоже называть бесконечнократно вырожденными. А здесь ровно такая же ситуация.

-- Сб, 19 сен 2015 13:44:22 --

Red_Herring в сообщении #1054945 писал(а):

Мне кажется маловероятным что выпускники физфака ЛГУ не знают про то, как спектры следует классифицировать (а если не знают, то призрак М.Ш.Б. является им в кошмарных снах еженощно).

Сейчас только матфизики знают (но большинство из них позиционируют себя как чистые математики). Раньше да, Бирман читал функциональный анализ всем теоретикам, а не только матфизикам.

[amon]

Возьмём оператор импульса $\hat{P}=-i\left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right).$ Будем считать, что в этом направлении плоскость "свернута в трубочку". Это значит, что если мы повернем оси координат так, что бы это направление легло на ось $x$, то на с.ф. будут граничные условия, к примеру, $\Psi(x,y)=\Psi(x+2\pi,y)$. Тогда в повернутых координатах собственное значение будет любое целое $n$, а собственная функция - $e^{inx}f(y)$, где $f$ - любая функция из нужного класса. Теперь проделаем то, чего Вы от нас добиваетесь, но на этом простом примере. Не будем поворачивать оси. В уравнении $\left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)\Psi=i\lambda\Psi$ переменные делятся, и его полным набором частных решений будет $\exp\left(i\frac{\mu_1}{\alpha}x+i\frac{\mu_2}{\beta}y\right)$ При этом (для периодических функций) единственным условием на $\mu$ будет $\mu_1+\mu_2=n=\lambda$. То есть произвольная функция теперь "размазалась ровным слоем" по "собственным функциям".

Какое это имеет отношение к Вашему вопросу? Да прямое. В повернутых координатах $x$ и $p$ - канонически сопряженные величины, и зависимость от $y$ отвалилась в отдельную функцию. В исходных эта зависимость зарыта в бесконечно-кратном вырождении с.з. (сами с.з. не поменялись). Для МКД $L_z$ и $\varphi$ - канонически сопряженные величины, и для них зависимость от $\rho$ отвалилась в отдельную функцию, про которую на время можно и забыть. Для $XY$ координат это будет не так, и выковырять нужные куски без упоминания о $\varphi$ сложно, хотя можно.

[peregoudov]

Мне кажется, автор темы спрашивает про алгебраическое, без привязки к конкретным координатам, квантование момента импульса. И такое есть. Оказывается, проекцию момента можно представить как разность двух гармонических осцилляторов.

Предполагаю, что Игоръ знаком с алгебраическим квантованием гармонического осциллятора, поднимающими и опускающими операторами. Вводя таковые для осей $x$ и $y$, нетрудно убедиться, что

$$ L_z=-i(a_x^\dag a_y-a_y^\dag a_x)=(a_x^\dag,a_y^\dag)\left(\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\end{matrix}\right)=a^\dag\sigma_2a, $$

$\sigma_2$ --- матрица Паули. Отсюда уже видно, что надо сделать: унитарное преобразование операторов $a$ (при этом коммутационные соотношения не изменятся), такое что матрица $\sigma_2$ перейдет в $\sigma_3$

$$ b=Ua,\quad U\sigma_2 U^\dag=\sigma_3. $$

Нетрудно вычислить, что $U=(i+\sigma_1)/\sqrt2$. В новых переменных оператор момента импульса представляется в виде

$$ L_z=b_x^\dag b_x-b_y^\dag b_y, $$

то есть представляет собой разность операторов Гамильтона двух независимых линейных осцилляторов.

[Munin]

А можно про физический смысл этой конструкции? Начиная с $L_z=-i(a_x^\dag a_y-a_y^\dag a_x).$

[peregoudov]

Не понял вопроса... $L_z$ --- это $z$-компонента момента импульса.

[g______d]

Munin в сообщении #1055705 писал(а):

А можно про физический смысл этой конструкции? Начиная с $L_z=-i(a_x^\dag a_y-a_y^\dag a_x).$

В 3D похожий трюк используется, в книжках по КМ (да и этот, я думаю, где-то у Дирака или у кого-то еще есть).

[amon]

Munin в сообщении #1055705 писал(а):

А можно про физический смысл этой конструкции? Начиная с $L_z=-i(a_x^\dag a_y-a_y^\dag a_x).$

$$\hat{a}_i=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{q}_i+i\hat{p}_i\right)$$

Подставьте - и все получится. А так - это угловой момент в представлении Фока-Баргмана.

[ИгорЪ]

peregoudov
Спасибо за напоминание, эти конструкции я видел где то в текстах по (суси) квантовой механике. Вопрос всё таки другой, но вот, кажется, на примере двумерного осциллятора я его смогу поточнее сформулировать.
amon Я правильно понимаю, вы рассматриваете частицу на цилиндре в естественной и произвольной системе координат?