Квантование момента

[ИгорЪ]

Red_Herring
Вы мне вырожденный гамильтониан подсовываете как пример? Это интересно, но я именно про дискретность спектра момента обычной частицы.

-- Чт сен 17, 2015 11:15:57 --

g______dСпасибо смотрю

[Red_Herring]

ИгорЪ в сообщении #1054086 писал(а):

Red_Herring
Вы мне вырожденный гамильтониан подсовываете как пример? Это интересно, но я именно про дискретность спектра момента обычной частицы.

Я отвечаю на конкретный вопрос. Похоже что Вы действительно не понимаете что квантование это переход от классического гамильтониана к квантовому, а будет ли его спектр точечным, абсолютно непрерывным, сингулярно непрерывным или смешанным--это уже совсем другой вопрос. Если Вы думаете, что это делать умеете, то проквантуйте простенький одномерный гамильтониан $pq$

Что касается уже проквантованного гамильтониана, то там можно грамотно делать любые замены переменных и устанавливать свойства спектра в тех, которые удобны. Если я Вас правильно понимаю, то Вы спрашиваете, как доказать что оператор момента -$i\hbar (x\partial_y-y\partial_x)$ имеет в $\mathbb{R}^2$ дискретный спектр. Увы и ах! Спектр его не дискретный, а точечный бесконечнократный, а дискретный спектр будет только на окружности, т.е. полярный угол вводить придётся в любом случае.

То же верно для $\mathbb{R}^3$ (вместо плоскости), сферы вместо окружности, и оператора квадrата полного момента $-\hbar^2 (\mathbf{r}\times \nabla)^2$.

[ИгорЪ]

Red_Herring в сообщении #1054107 писал(а):

Я отвечаю на конкретный вопрос.

Вы прочтите первый пост.

Red_Herring в сообщении #1054107 писал(а):

Если я Вас правильно понимаю, то Вы спрашиваете, как доказать что оператор момента -$i\hbar (x\partial_y-y\partial_x)$ имеет в $\mathbb{R}^2$ дискретный спектр. Увы и ах! Спектр его не дискретный, а точечный бесконечнократный, а дискретный спектр будет только на окружности, т.е. полярный угол вводить придётся в любом случае.

Можете это доказать?

[Red_Herring]

ИгорЪ в сообщении #1054192 писал(а):

Можете это доказать?

То же мне, бином Ньютона! Разделите переменные и получите что собственные функции с с.з. $n$ будут $e^{-i\hbar^{-1}n\theta} f (r )$ с произвольной $f$ т.е. собственное пространство бесконечномерно. Аналогично в размерности 3.

[Munin]

А как разделить переменные? (Не подглядывая в ответ.)

[g______d]

Munin в сообщении #1054235 писал(а):

А как разделить переменные? (Не подглядывая в ответ.)

Оператор коммутирует с поворотами, поэтому собственные функции можно искать среди собственных функций поворота.

[ИгорЪ]

В полярных координатах я это уже писал. В декартовых плиз

-- Чт сен 17, 2015 21:30:24 --

Munin
Он их не разделял, а просто написал в полярных

[Munin]

g______d в сообщении #1054238 писал(а):

Оператор коммутирует с поворотами

Как это найти?

[ИгорЪ]

Видимо это ответ

http://mathoverflow.net/questions/16196 ... d-operator. Как его получить?

[g______d]

Munin в сообщении #1054250 писал(а):

Как это найти?

Переменные делятся — это значит, что область имеет вид $X\times Y$, а оператор $A\otimes I+I\otimes B$. Как именно найти эти $X$ и $Y$ -- это геометрическая/алгебраическая задача, см. книжку Миллер, "Симметрия и разделение переменнных". Обычно их либо просто угадывают, либо угадывают, используя какие-то соображения о том, откуда этот оператор взялся (как в данном случае). Ну и всегда полезно проверить какие-то простые преобразования, не коммутируют ли они с данным оператором.

-- Чт, 17 сен 2015 11:59:36 --

ИгорЪ в сообщении #1054253 писал(а):

ответ

Полный ответ был дан Red_Herring; формула по ссылке — это частный случай, когда выбран специальный базис вдоль радиальной компоненты; а вообще его можно выбирать любым.

[mihiv]

Кое-что о получении дискретных собственных значений оператора момента без использования условия однозначности в.ф. есть в книге: Биденхарн, Лаук "Угловой момент в квантовой физике", Гл.6, п.5.

[Red_Herring]

ИгорЪ в сообщении #1054247 писал(а):

В полярных координатах я это уже писал. В декартовых плиз

Решать задачу следует в тех координатах, которые наилучшим образом подходят для неё. А будут ли они декартовыми, полярными. эллиптическими, параболическими или какими иными—это дело десятое.

[ИгорЪ]

g______d в сообщении #1054257 писал(а):

Полный ответ был дан Red_Herring

Этот ответ на тривиальную задачу $\partial_\theta \Psi (r,\theta )=\lambda \Psi (r,\theta )$ записанную в полярных координатах, где дискретность спектра возникает из условия однозначности $\Psi(r,\theta)=\Psi(r,\theta+2\pi)$. Чтобы убедится, что дискретность не "координатный эффект", хочется посмотреть как она возникает в декартовых координатах.

g______d в сообщении #1054257 писал(а):

формула по ссылке — это частный случай, когда выбран специальный базис вдоль радиальной компоненты

Вы полагаете жирный $\mathbf{x}=r$, а я считал $\mathbf{x}=(x,y)$?

Red_Herring в сообщении #1054386 писал(а):

Решать задачу следует в тех координатах, которые наилучшим образом подходят для неё. А будут ли они декартовыми, полярными. эллиптическими, параболическими или какими иными—это дело десятое.

Конечно это так, но можно напороться, например, на мнимую сингулярность, как в решении Шварцшильда или ещё какой координатный артефакт. Переход к полярным координатам многозначен.

[Sicker]

ИгорЪ в сообщении #1054488 писал(а):

Переход к полярным координатам многозначен.

Можно зафиксировать углы, и координатный артефакт есть только в нуле, но там и $f(r=0)=0$.
Короче ваше нытье не понятно, это лишь просто замена координат, мы может это делать где угодно и когда угодно, фактически мы в декарте и работаем.

[Red_Herring]

ИгорЪ в сообщении #1054488 писал(а):

Чтобы убедится, что дискретность не "координатный эффект", хочется посмотреть как она возникает в декартовых координатах.

Никакого отношения спектр к выбору координат не имеет (если бы имел бы, то это бы не было фундаментальным понятием). Более того, вычисляя нечто не то что в двух, а в двухстах разных координатных системах и получив один и тот же ответ Вы всё равно не можете утверждать что ответ не зависит от системы координат.

Если Вам хочется решать тривиальную задачу, после того как Вы её переусложнили, выбрав неподходящую систему координат, то—вперёд и с песнями. Но вряд ли хоть кто-то захочет участвовать в этом крестовом походе.