Тетрады, SergeyGubanov и др

[Sicker]

Я от SergeyGubanov часто слышал слово тетрада применительно к ОТО.
Можете пояснить, что это такое? Это просто локальный координатный базис $dx_1,dx_2,dx_3,dx_4$?

[Утундрий]

Это четыре л/н векторных поля на многообразии.

[Sicker]

Те они к метрике и координатной системе являются как бы внешними?(не определяют ее?)

[Утундрий]

Если прикрутить к ним ещё одну штуковину, то совместно они дадут метрику.

[Munin]

1. Откройте Иваненко, Сарданашвили. Гравитация. Прочитайте параграф 1.2.
2. Мысленно замените "базис касательного пространства $T_x$" на "тетрада".
3. Откройте ЛЛ-2 § 98, и убедитесь, что там написано то же самое.
На будущее: это же понятие называется "локальный репер". По Иваненко, Сарданашвили, оно называется также "система отсчёта", и это было бы прекрасно, если бы все приняли такую терминологию, но увы, это слово спорное, и его использует каждый во что горазд ( post1053864.html#p1053864 ).

[SergeyGubanov]

Sicker в сообщении #1054516 писал(а):

Я от SergeyGubanov часто слышал слово тетрада применительно к ОТО.
Можете пояснить, что это такое?

Это четыре векторных поля: $e^{\mu}_{(a)} = \left\{ e^{\mu}_{(0)}, e^{\mu}_{(1)}, e^{\mu}_{(2)}, e^{\mu}_{(3)} \right\}$.

Они линейно независимы: $\det e^{\mu}_{(a)} \ne 0$.

Обратная матрица даёт четыре ковекторных поля: $e^{(a)}_{\mu} = \left\{ e^{(0)}_{\mu}, e^{(1)}_{\mu}, e^{(2)}_{\mu}, e^{(3)}_{\mu} \right\}$

$$ e^{(a)}_{\mu} e^{\mu}_{(b)} = \delta^{a}_{b} \eqno(1) $$

$$ e^{\mu}_{(a)} e^{(a)}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} \eqno(2) $$

Из тетрады строят риманову и псевдориманову метрики:

$$ g^{R}_{\mu \nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} + e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} + e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} + e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu} = \eta^{E}_{a b} e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu} \eqno(3) $$

$$ g_{\mu \nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu} = \eta_{a b} e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu} \eqno(4) $$

Относительно этих метрик репер автоматически оказывается ортонормированным. Относительно римановой метрики нормировка на $+1$, $+1$, $+1$, $+1$; а относительно псевдоримановой метрики нормировка на $+1$, $-1$, $-1$, $-1$. То есть ортонормированность - это не заслуга репера, а фича построенной из него метрики.

$$ g_{\mu \nu} e^{\mu}_{(a)} e^{\nu}_{(b)} = \eta_{a b} \eqno(5) $$

$$ g^{\mu \nu} e_{\mu}^{(a)} e_{\nu}^{(b)} = \eta^{a b} \eqno(6) $$

Ещё можно заглянуть в книгу Грин, Шварц, Виттен Теория суперструн, Том 2, глава 12 Некоторые сведения по дифференциальной геометрии.

[Sicker]

Те, это локальный ортонормированный базис?

[espe]

Sicker в сообщении #1054663 писал(а):

Те, это локальный ортонормированный базис?

Bingo!

[epros]

Sicker в сообщении #1054663 писал(а):

Те, это локальный ортонормированный базис?

Смотрим сюда и сюда и сравниваем.