Энергия гравитационного поля.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1052273 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1052229 писал(а):

Если у идеальной пыли нет действия, то как можно говорить об его экстремальности?

И какие последствия это может иметь для задач с идеальной пылью?

Если мы верим в то, что всякая материя должна быть Лагранжевой, то пример с идеальной пылью либо заставляет нас отказаться от этой веры, либо поискать такой функционал действия, который бы имел экстремум при наличии пыли.

Такой функционал есть.

Дело в следующем. В системе отсчёта $e^{\mu}_{(a)}$ движущейся вместе с пылью единственная отличная от нуля тетрадная компонента тензора энергии импульса $T_{(0)(0)} \ne 0$. Тетрадные уравнения Эйнштейна в этой системе отсчёта выглядят так:

$$ G_{(a)(b)} = 0 \quad \text{кроме} \quad G_{(0)(0)} \ne 0 \eqno(1) $$

Значит надо придумать такой функционал действия, экстремум которого был бы на этих уравнениях. И это не сложно сделать.

Легко видеть, что в указанной системе отсчёта времени подобное ковариантное векторное поле $e^{(0)}_{\mu}$ должно быть безвихревым (следует из геодезичности и из нормировки на единицу), то есть представляет собой градиент некоторой функции:

$$ e^{(0)}_{\mu} = \frac{\partial \tau}{ \partial x^{\mu}}. \eqno(2) $$

Вера в существование системы отсчёта (2) на математическом языке означает наложение на четырёхмерную топологию пространства событий условия сильной причинности.

В произвольной системе отсчёта для компонент метрического тензора имеем:

$$ g_{\mu \nu} = \eta_{a b} \, e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu}. \eqno(3) $$

Теперь накладываем на топологию пространства событий условие сильной причинности, в системе отсчёта (2) для метрического тензора получаем:

$$ g_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - \delta_{i j} e^{(i)}_{\mu} e^{(j)}_{\nu}. \eqno(4) $$

Представление (4) не зависит от системы координат, то есть теория осталась общековариантной.

Далее подставляем метрический тензор (4) в обычное действие Гильберта и варьируем его по двенадцати полям $e^{(i)}_{\mu}$ и по тринадцатому полю $\tau$, получаем тринадцать Лагранжевых уравнений:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) e^{(i)}_{\nu} = 0, \eqno(5) $$

$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} \left( \sqrt{-g} \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \partial_{\nu} \tau \right) = 0. \eqno(6) $$

Здесь $T_{\mu \nu}$ - тензор энергии импульса прочей материи. Двенадцать полей $e^{(i)}_{\mu}$ определены с точностью до произвольного локального трёхмерного поворота

$$ e'^{(i)}_{\mu} = L^{i}_{j} e^{(j)}_{\mu}, \quad \delta_{i j} L^{i}_{k} L^{j}_{l} = \delta_{k l}, \eqno(7) $$

поэтому линейно независимыми из двенадцати уравнений (5) являются только девять. Тринадцатое по счёту, а если считать по линейно независимым, то десятое, уравнение (6) есть просто сохранение векторного тока плотности энергии-импульса гравитационного поля и прочей материи.


Система уравнений (5), (6) является Лагранжевой и содержит пылевидные решения. Мы добились чего хотели. За это нам пришлось заплатить: мы наложили на топологию пространства событий требование сильной причинности (4).

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #1052648 писал(а):

в указанной системе отсчёта времени подобное ковариантное векторное поле $e^{(0)}_{\mu}$ должно быть безвихревым (следует из геодезичности и из нормировки на единицу)

То есть всё наоборот, всякое безвихревое векторное поле с константной нормой является геодезическим:

$$ \nabla_{\mu} u_{\nu} - \nabla_{\nu} u_{\mu} = 0, \quad u^{\mu} u_{\mu} = 1 \quad \to \quad u^{\mu} \nabla_{\mu} u^{\nu} = 0, \eqno(1) $$

но не всякое геодезическое единичное векторное поле будет безвихревым . Короче, всё сказанное дальше относится к безвихревой пыли. Безвихревую пыль описанным выше способом можно сделать Лагранжевой. С вихревой пылью такой трюк не проходит.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1052648 писал(а):

Теперь накладываем на топологию пространства событий условие сильной причинности, в системе отсчёта (2) для метрического тензора получаем:

$$ g_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - e^{(1)}_{\mu} e^{(1)}_{\nu} - e^{(2)}_{\mu} e^{(2)}_{\nu} - e^{(3)}_{\mu} e^{(3)}_{\nu} = \partial_{\mu} \tau \partial_{\nu} \tau - \delta_{i j} e^{(i)}_{\mu} e^{(j)}_{\nu}. \eqno(4) $$

Почему это условие сильной причинности?

[Sicker]

SergeyGubanov
А метрический тензор энергии импульса и канонически ТЭИ это одно и тоже?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1052857 писал(а):

Почему это условие сильной причинности?

В системе отсчёта $e^{(a)}_{\mu} = \left\{ \partial_{\mu}\tau, \; e^{(1)}_{\mu}, \; e^{(2)}_{\mu}, \; e^{(3)}_{\mu} \right\}$ пространственное слоение задаётся поверхностями уровня $\tau(x) = \operatorname{const}$, причём $\partial_{\mu}\tau \ne 0$. Часы поддаются глобальной синхронизации $\oint e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0$. О какой-то ещё более "сильной" причинности и мечтать нельзя.

Sicker в сообщении #1053008 писал(а):

А метрический тензор энергии импульса и канонически ТЭИ это одно и тоже?

Нет, не одно и то же.

[Munin]

Sicker в сообщении #1053008 писал(а):

А метрический тензор энергии импульса и канонически ТЭИ это одно и тоже?

Метрический - это симметризованный канонический.

[SergeyGubanov]

Канонический это вот такой:

$$ t^{\mu}_{\nu} = \frac{\partial L}{\partial \left( \partial_{\mu} \Phi^{A} \right) } \partial_{\nu} \Phi^{A} - \delta^{\mu}_{\nu} L. \eqno(1) $$

Так построенная величина является тензором только когда поля $\Phi^{A}(x)$ являются скалярами по отношению к преобразованиям координат. Если поля $\Phi^{A}(x)$ не скаляры, то $t^{\mu}_{\nu}$ не тензор. Для того чтобы он был тезором, его следовало бы определять не через частные производные $\partial_{\mu} \Phi^{A}$, а через ковариантные $\nabla_{\mu} \Phi^{A}$. Короче, в общем случае канонический "тензор" энергии импульса -- вообще не тензор.

[Z.S.]

Подскажите, насколько допустимыми являются следующие соображения:
Пусть на сфере бесконечного радиуса $$R_{\infty}$, тонким слоем "размазана" масса $M$ (тонкостенная оболочка).
Гравитационное поле во всяком случае полагаем слабым. Наблюдатель - "удаленный".
Тогда можно считать, что полная энергия, сосредоточенная в объеме, ограниченном нашим бесконечным радиусом $$R_{\infty}$,
заключена в веществе оболочки и равна $E_{\Sigma }=Mc^{2}$. Теперь медленно переместим вещество оболочки ближе к центру на радиус $R$.
Тогда наблюдатель увидит следующее:
1. Вещество оболочки переместится на радиус $R$, в зону пониженного потенциала.
2. Сила гравитации произведет работу на перемещении от радиуса $R_{\infty}$ до радиуса $R$.
3. В объеме от $ R_{\infty}$ до $R$ появится гравитационое поле.
Полагаем , что работу сил гравитации мы затрачиваем на увеличение энергии покоя оболочки,
(с точки зрения наблюдателя на стенке оболочки).
Исходя из закона сохранения энергии можно записать для нашего случая слабого поля
и объема, ограниченного радиусом $R_{\infty}$ :

$ E_{\Sigma }(1-\delta )+E_{\Sigma } \frac{\delta}{2} +E_{g} =E_{\Sigma }$

Здесь $\delta=\frac{G}{c^{2}}\frac{1}{R}\frac{E_{\Sigma }}{c^{2}} = \frac{G}{c^{2}}\frac{M}{R}$,

где $G$ - гравитационная постоянная, $E_{g}$ -энергия гравитационного поля, заключенная в объеме, ограниченном радиусами $R$ и $ R_{\infty}$.

Тогда получим:

$E_{g}=E_{\Sigma } \frac{\delta}{2}=\frac{G}{2}\frac{M^{2}}{R}>0$

Т.е. получается положительное значение энергии гравитационного поля, вроде как из-за того,
что потеря энергии при помещении вещества оболочки в низкий потенциал, за счет
неоднородности времени, больше, чем работа сил гравитации на этом перемещении.

[Geen]

Z.S. в сообщении #1053522 писал(а):

медленно переместим

Z.S. в сообщении #1053522 писал(а):

из закона сохранения энергии

И в каком слагаемом учтена работа по торможению оболочки?

[Z.S.]

Во втором. Получается масса умножить на половину потенциала ,
т.к. потенциал на бесконечности нулевой. Раз работа на торможение отрицательная,
то работа сил гравитации приводит к росту энергии покоя оболочки,
(с точки зрения наблюдателя на оболочке), что и учтено во втором слагаемом.

Т.е. если взять падение пыли с бесконечного радиуса к центру, то удаленный наблюдатель
скажет что энергия покоя пыли все время уменьшается, кинетическая энергия пыли вначале растет
затем падает , энергия гравитационного поля растет а потом рост прекращается - т.е.вся энергия пыли
превращается (по мнению удаленного наблюдателя) в энергию статического гравитационного поля.
Получается такой себе гравизаряд в чистом виде.
Естественно, эти измышления в некоторой степени могут соответствовать реальности только в том случае,
если утверждение о положительности энергии поля является верным (хотя и это не факт). Сейчас это только фантазия.

[Z.S.]

Немного подкорректирую предыдущее сообщение.

У меня получается такое соотношение для случая движения стенки оболочки из бесконечности к центру:

$E_{g}=\frac{1}{2}E_{\Sigma}(1-a)$

Где

$E_{g}$ - энергия гравитационного поля
$E_{\Sigma}$ - полная энергия системы
$a$ - коэффициент замедления времени для наблюдателя на оболочке,
по отношению ко времени удаленного наблюдателя, при "погружении в потенциал".
Здесь $a\in [0,1]$, а нулевое значение $a$ соответствует предельному сжатию.

В общем, если исходить из положительности энергии гравитационного поля, то выходит,
что если взять падение пыли с бесконечного радиуса к центру, то удаленный наблюдатель
скажет, что энергия покоя пыли все время уменьшается, кинетическая энергия пыли вначале растет
затем рост прекращается, энергия гравитационного поля растет, а потом рост прекращается.
Т.е. энергия гравитационого поля в рассматриваемом случае не может превышать половины полной энергии -
вроде как гравитационным способом можно только половину энергии покоя оболочки превратить в кинетическую.

[epros]

Z.S. в сообщении #1053522 писал(а):

работу сил гравитации мы затрачиваем на увеличение энергии покоя оболочки,

А поскольку полная энергия системы сохраняется, отсюда следует, что энергия дополнительного поля, возникшего в сферическом слое, отрицательная.

[Z.S.]

Ув. epros, вы считаете, что при расчете не нужно учитывать изменение энергии вещества,
при помещении его в пониженный, относительно удаленного наблюдателя потенциал.

Т.е. ту часть, что я обозначил как: $E_{\Sigma }(1-\delta)$ нужно по вашему
записать как $E_{\Sigma }$, и тогда получится так, как вы хотите, а именно:

$E_{g}=-E_{\Sigma }\frac{\delta }{2}$

Мне кажется это неправильным ( не учитывать изменение энергии тела при помещении его
в потенциал отличный от потенциала наблюдателя). Ведь при совершении гравитационными
силами работы над веществом оболочки, вещество оболочки одновременно перемещается
в область пониженного потенциала,а значит, по мнению удаленного наблюдателя
( да и всякого другого наблюдателя,находящегося в области с постоянным потенциалом)
должно в тоже время также и уменьшать свою энергию, в зависимости от разности потенциалов.
Т.е. одновременно протекают два процесса, которые нужно учесть при расчете:
1. увеличение энергии оболочки за счет работы сил гравитации.
2. уменьшение энергии оболочки за счет "погружения в потенциал".
И процесс №2, в два раза мощнее, чем процесс №1.

Я же , в свою очередь, полагаю, что в силу закона сохранения энергии, при отрицательной энергии
гравитационного поля мы не наблюдали бы неоднородность времени.
По моему мнению, наблюдаемая на опыте неоднородность времени
- это прямое следствие неотрицательности энергии гравитационного поля, и для природы
- неоднородность времени - это единственный способ обеспечить выполнение закона сохранения энергии.
И именно свойство гравитационного поля производить положительную работу
при одновременном увеличении энергии этого же поля и приводит к нарушению однородности времени.
Т.е. нарушение однородности времени - это прямое следствие особых свойств
гравитационного поля и одновременно закона сохранения энергии.
Покажите свои расчеты, если вам нетрудно, т.к . я на истину не претендую,
просто интересно, как там на самом деле должно быть.

[epros]

Z.S. в сообщении #1054938 писал(а):

Ув. epros, вы считаете, что при расчете не нужно учитывать изменение энергии вещества,
при помещении его в пониженный, относительно удаленного наблюдателя потенциал.

Вы не читаете. Я сказал: Сохраняется полная энергия системы. Это закон сохранения энергии обычно так формулируется (для замкнутых систем). Энергия вещества как раз увеличивается: Оно же упало на $\Delta h$, в процессе падения разогналось, а потом при остановке вещества на новой высоте эта кинетическая энергия перешла во внутреннюю энергию вещества. Далее вывод тривиальный: Раз система состоит из вещества и поля, а энергия вещества увеличилась, значит уменьшилась энергия поля.

[Pphantom]

Z.S., пожалуйста, не вставляйте лишние переносы строк в текст сообщения. При небольшом размере экрана подобные сообщения неудобочитаемы.