Неизвестное обозначение

[Sinoid]

Здравствуйте! Пытаюсь решать сборник по теории групп Каролинского, Новикова. Попалась задача, а что требуется, не знаю.
Задача. Опишите $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}(6),\mathbb{Z}(18))$.
Это что, значит найти все гомоморфизмы группы вычетов по модулю 6 в группу вычетов по модулю 18? А, возможно, и "на"? Хотя на "на" в данном случае не хватит элементов, если я правильно понимаю обозначение.

[arseniiv]

Да, просто гомоморфизмы, не нужно «на» (т. е. эпиморфизмы).

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1053988 писал(а):

не нужно «на» (т. е. эпиморфизмы).

Вы эту часть написали применительно к примеру из первого поста? А в общем случае надо было бы не "не нужно "на"", а "не обязательно "на""? А вообще, эпиморфизм - это же и есть "на".

[grizzly]

Sinoid
Просто $\operatorname{Hom}(G,H)$ -- это обозначение множества гомоморфизмов из $G$ в $H$.

Оно само может быть группой (не знаю, нужно ли Вам проверять это для Вашего задания "Опишите"; скорее нет, чем да).

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1054003 писал(а):

А в общем случае надо было бы не "не нужно "на"", а "не обязательно "на""?

Так, да. Действительно, я неаккуратно написал, имея в виду «не нужно только «на», [а нужны все]».

Sinoid в сообщении #1054003 писал(а):

А вообще, эпиморфизм - это же и есть "на".

Хорошо, если знаете. Меня просто немного удивило сочетание категорий и термина гомоморфизм «на»*, вот и дописал.

* Ведь не в любой категории объекты являются какими-то алгебраическими системами, где морфизмы будут потому функциями, и не каждый эпиморфизм в подобной категории будет являться сюръекцией, отображением «на». По мне, потому странно говорить гомоморфизм «на» в какой попало категории. Хотя с категорией групп тут порядок (эпи- ттт, когда сюръективный).

[kp9r4d]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1054010 писал(а):

Ведь не в любой категории объекты являются какими-то алгебраическими системами, где морфизмы будут потому функциями, и не каждый эпиморфизм в подобной категории будет являться сюръекцией

Это-то правда, но обоснование какое-то странное, категория колец с единицей - вполне себе категория, где объекты - алгебраические системы, а морфизмы - функции, однако $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ же.
А ещё $\mathbf{Hom}(A,B)$ как множество гомоморфизмов из $A$ в $B$ в книжках по алгебре для начинающих (в том же Винберге, например) употребляются без всякого категорного смысла.

[grizzly]

kp9r4d в сообщении #1054015 писал(а):

А ещё $\mathbf{Hom}(A,B)$ как множество гомоморфизмов из $A$ в $B$ в книжках по алгебре для начинающих (в том же Винберге, например) употребляются без всякого категорного смысла.

Или в упомянутом ТС задачнике. И там действительно прозевали пояснить это обозначение.

[arseniiv]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1054015 писал(а):

где объекты - алгебраические системы, а морфизмы - функции, однако $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$ же.

Да, потому я и написал

arseniiv в сообщении #1054010 писал(а):

и не каждый эпиморфизм в подобной категории будет являться сюръекцией

И вы это даже процитировали в ответе.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Просто мне показалось, что вы построили свою фразу:

Цитата:

Ведь не в любой категории объекты являются какими-то алгебраическими системами, где морфизмы будут потому функциями

так, будто бы такие "аномалии" могут случаться, только если объекты - не алгебраические системы, или стрелки - не функции (тобишь когда категория не является конкретной). Если имели в виду не то - извиняюсь.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не, ничего, я пересокращал текст.

[Sinoid]

Спасибо.