Степенно-полказательное неравенство

[Did]

Подскажите идею доказательства неравенства:$x^x+y^y+z^z$$\geqslant$$x^y+y^z+z^x$, где $x$$\geqslant1$, $y$$\geqslant1$, $z$$\geqslant1$.

[Mihaylo]

Аналогичное неравенство с двумя переменным как-то проще доказывается... Сначала доказываем для случая $x\geqslant y$, затем для случая $x<y$. После этого пользуемся результатом для доказательства неравенства с тремя переменными?

[Did]

Для двух переменных неравенство неравенство имеет другую структуру; $x^x+y^y$$\geqslant$$x^y+y^x$

[grizzly]

Did в сообщении #1053910 писал(а):

Для двух переменных неравенство неравенство имеет другую структуру; $x^x+y^y \geqslant x^y+y^x$

Почему другую? Такую же. Вот Вам подсказка: докажите неравенство для двух переменных и попытайтесь с его помощью понизить количество слагаемых в Вашем неравенстве.
Если способ доказательства неравенства для двух переменных найдете достаточно хороший, он же сработает и во второй части предложенной мной идеи доказательства.
Доказательство получается не очень сложное, но сколько-то олимпиадное, да ещё и двухходовое.

PS. Не набирайте, пожалуйста, отдельные символы в формулах в доллары, всю формулу целиком помещайте в одну пару долларов.