Главные расслоения

[lv00]

Здравствуйте. Я изучаю дифференциальную геометрию и хотел бы задать некоторые вопросы по поводу моего понимания, а также спросить то, чего я не понимаю.

Для начала, хотел бы узнать, правильно ли я понимаю главное расслоение, как некоторое многообразие (в действительности прямое произведение "изначального" многообразия $M$ и группы $G$), которое устроено следующим образом: у нас есть база $M$, а его слои устроены следующим образом: для каждой точки $m \in M$ определен слой, состоящий из всех точек, которые могут быть получены из точки $m$ путем действия элементов из группы $G$.
Тут есть некоторый вопрос - почему действие группы определяется именно справа (а не слева, как, по моему мнению, является более привычно)?

Также есть вопрос по поводу вертикальных и горизонтальных подпространств. Они являются частью тангенциального к $P$ (где $P$ - главное расслоение) пространства. Правильно ли я думаю относительно этого тангенциального к $P$ пространства $T_u P$ (для каждой точки $u \in P$), что раз $P = M \times G$, то $T_u P = T_m M \times T_g G$, где $m \in M, g \in G$?

Далее, вертикальное пространство можно определить через изоморфизм между алгеброй Ли группы $G$ и фундаментальным векторным полем на слое (которое "перетаскивает" элемент из базы $M$ по слою под действием группы) - именно, оно состоит из такого векторного поля.

А вот устройство горизонтального подпространства мне неясно. Ведь если мы имеем для каждой точки $u \in M$ касательное пространство на слое (вертикальное подпространство), то в силу устройства самого главное расслоения $P$, нам достаточно добавить касательное пространство на базе $M$ для получения полного касательного пространства на $P$, т.е. $T_u P = V_u P \oplus T_u M$, разве нет? Хотя тут еще, видимо, надо учитывать каким-то образом касательное пространство к группе $G$.

[g______d]

lv00 в сообщении #1052972 писал(а):

в действительности прямое произведение "изначального" многообразия $M$ и группы $G$

Нет.

lv00 в сообщении #1052972 писал(а):

у нас есть база $M$, а его слои устроены следующим образом: для каждой точки $m \in M$ определен слой, состоящий из всех точек, которые могут быть получены из точки $m$ путем действия элементов из группы $G$.

Вы вообще ничего не сказали до этого, что задано какое-то действие $G$ на $M$. Ну и, вообще говоря, $G$ и не обязана действовать на базе, она действует на слоях.

Прочитайте определение в википедии или дайте какой-то источник, которым руководствуетесь, тогда можно будет обсудить более предметно, что не понятно в конкретном определении.

[Munin]

Расслоение - это некое обобщение понятия прямого произведения $M$ и $G.$ Можно сначала мысленно представить себе прямое произведение, а потом его "искажать". Причём, локально это будет "искажение", а вот глобально - дело может дойти и до "переклейки".

[lv00]

g______d в сообщении #1052991 писал(а):

Вы вообще ничего не сказали до этого, что задано какое-то действие $G$ на $M$. Ну и, вообще говоря, $G$ и не обязана действовать на базе, она действует на слоях.

Прочитайте определение в википедии или дайте какой-то источник, которым руководствуетесь, тогда можно будет обсудить более предметно, что не понятно в конкретном определении.

Действие группы можно определить следующим образом: $\phi_i^{-1} (uh) = (p, g_i h)$ где $\phi_i$ - локальная тривиализация.
Здесь вот что непонятно.
Во-первых, если временно рассмотреть тривиальное расслоение (глобально), то есть если посчитать, что оно представимо в виде прямого произведения, то его слои будут изоморфны группе $G$, на которой эта группа и действует путем простого перемножения своих элементов. Зачем тогда нужна база, если она вообще отделена, и группа к ней не имеет никакого отношения (у нас есть лишь пары точек - одна из базы, другая - из группы $G$).
Во-вторых, если расслоение глобально нетривиально, то, например, каким образом можно "перемешать" базу и группу?

Раньше мне казалось (возможно, неправильно), что слои - это по сути наборы точек, которые могут быть получены из какой-либо другом точки (для каждого слоя она своя) путем непрерывного действия группы $G$.

Я пользуюсь разными источниками, но для установки соответствия пусть это будет M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics".

[g______d]

lv00 в сообщении #1053146 писал(а):

Действие группы можно определить следующим образом: $\phi_i^{-1} (uh) = (p, g_i h)$ где $\phi_i$ - локальная тривиализация.

Ну так это действие не на $M$, а на тотальном пространстве (на самом деле даже на слое).

lv00 в сообщении #1053146 писал(а):

Раньше мне казалось (возможно, неправильно), что слои - это по сути наборы точек, которые могут быть получены из какой-либо другом точки (для каждого слоя она своя) путем непрерывного действия группы $G$.

Видимо, неправильно. Вы знаете определение обычного (например, векторного) расслоения? С него надо начинать. Главное расслоение -- это в каком-то смысле то же самое, только слоями являются не векторные пространства, а экземпляры группы $G$.

Попробуйте взять формальное определение из википедии и понять его.

[lv00]

g______d в сообщении #1053184 писал(а):

Попробуйте взять формальное определение из википедии и понять его.

Теперь я понимаю это. Но тогда мне не совсем ясно, почему должно быть $\pi (ug)$ = $\pi(u)$, где $u \in P, g \in G$.

По поводу вертикальных и горизонтальных подпространств. Почему мы не можем, если главное расслоение состоит из слоев и базы, определить касательное пространство через совокупность касательных пространств для каждого из слоев и касательного пространства для базы?

[g______d]

lv00 в сообщении #1053252 писал(а):

почему должно быть $\pi (ug)$ = $\pi(u)$, где $u \in P, g \in G$.

Потому что группа $g$ действует на тотальном пространстве, переставляя точки слоя, но они всё время остаются над одной и той же точкой базы. Таким образом, проекция переводит их в одну и ту же точку.

[lv00]

g______d в сообщении #1053253 писал(а):

lv00 в сообщении #1053252 писал(а):

почему должно быть $\pi (ug)$ = $\pi(u)$, где $u \in P, g \in G$.

Потому что группа $g$ действует на тотальном пространстве, переставляя точки слоя, но они всё время остаются над одной и той же точкой базы. Таким образом, проекция переводит их в одну и ту же точку.

Это понятно. Я имел в виду, что как вообще связаны слои с базой? Например, рассмотрим в качестве базы пространство $S^1$, и каждой точке в этом пространстве сопоставим слой, изоморфный какой-либо группе, например $U(1)$ (или любой другой). Никакого смысла в этом не вижу - группа сама по себе, база сама по себе. Да,в книге M. Nakahara приводятся некоторые примеры ($U(1)$ над $S^2$, $SU(2$) над $S^4$), но мне непонятно, в чем состоит удобство работать с такими расслоениями, когда можно работать отдельно с базой и отдельно с группой, и если надо, определить действие группы на некотором многообразии.

[g______d]

lv00 в сообщении #1053265 писал(а):

Я имел в виду, что как вообще связаны слои с базой?

Слои с базой связаны через структуру тотального пространства: одинаково ли по отношению друг к другу расположены слои над разными точками, или нет. Если Вы знакомы с векторными расслоениями (а если не знакомы, то сейчас самое время, потому что в физике они встречаются чаще, чем главные), то там бывают тривиальные и нетривиальные расслоения. Содержательные примеры расслоений нетривиальны.

lv00 в сообщении #1053265 писал(а):

Например, рассмотрим в качестве базы пространство $S^1$, и каждой точке в этом пространстве сопоставим слой, изоморфный какой-либо группе, например $U(1)$ (или любой другой).

Этого недостаточно, чтобы задать расслоение. Нужно ещё указать, как эти слои расположены. Т. е. задать как-то тотальное пространство, или функции склейки и т. п.

Например, возьмите двумерную сферу, к ней касательное расслоение, в каждом слое выберите единичную окружность с центром в нуле, действие группы на этих окружностях -- поворот. Вот вам главное расслоение, и даже нетривиальное. Более того, у него нет ни одного сечения. А другое расслоение с той же базой и тем же слоем -- пусть будет просто $S^2\times \mathrm{U}(1)$. Отличаются ли они чем-нибудь? Да. У второго расслоения сечений сколько угодно, просто зафиксируйте какой-то элемент $\mathrm{U}(1)$ и возьмите константную функцию, равную этому элементу. Почему так не получится в первом случае? Потому что, хотя каждый слой изоморфен $\mathrm{U}(1)$, но не как группа, а как торсор (группа без зафиксированного единичного элемента). Локально этот элемент можно зафиксировать, но как только попытаетесь распространить это на всю сферу, возникнет проблема.

lv00 в сообщении #1053265 писал(а):

можно работать отдельно с базой и отдельно с группой

Только если расслоение тривиально, см. выше.

[lv00]

g______d в сообщении #1053269 писал(а):

Например, возьмите двумерную сферу, к ней касательное расслоение, в каждом слое выберите единичную окружность с центром в нуле, действие группы на этих окружностях -- поворот. Вот вам главное расслоение, и даже нетривиальное. Более того, у него нет ни одного сечения. А другое расслоение с той же базой и тем же слоем -- пусть будет просто $S^2\times \mathrm{U}(1)$. Отличаются ли они чем-нибудь? Да. У второго расслоения сечений сколько угодно, просто зафиксируйте какой-то элемент $\mathrm{U}(1)$ и возьмите константную функцию, равную этому элементу. Почему так не получится в первом случае? Потому что, хотя каждый слой изоморфен $\mathrm{U}(1)$, но не как группа, а как торсор (группа без зафиксированного единичного элемента). Локально этот элемент можно зафиксировать, но как только попытаетесь распространить это на всю сферу, возникнет проблема.

Спасибо. Где можно прочитать про подобные вещи? Потому что сейчас для меня это звучит несильно отличаясь от пустого звука - про касательное расслоение к сфере $S^2$ знаю лишь только то, что оно лежит в 4-мерном пространстве, поэтому представить его и его слои я не могу.

[пианист]

lv00
Но Вы же, я полагаю, знаете, что сферу $S^2$ нельзя "причесать"?

[lv00]

пианист в сообщении #1053276 писал(а):

lv00
Но Вы же, я полагаю, знаете, что сферу $S^2$ нельзя "причесать"?

Да. Возможность "непричесывания" говорит о том, что есть точка, в которой не определен касательный вектор. Плюс, ведь для построения касательного расслоения еще надо выделить непересекающиеся касательные векторы.

[Munin]

lv00 в сообщении #1053273 писал(а):

Потому что сейчас для меня это звучит несильно отличаясь от пустого звука - про касательное расслоение к сфере $S^2$ знаю лишь только то, что оно лежит в 4-мерном пространстве, поэтому представить его и его слои я не могу.

Да, представить его само по себе - трудно.

Но можно представить себе касательную плоскость к сфере. Это слой, который лежит в нашем 3-мерном пространстве. Можно представить себе несколько слоёв, взяв касательные плоскости к нескольким точкам (даже к точкам, расположенным непрерывно на линии). Это поможет, хотя "вычислять" что-то всё равно придётся с трудом.

[g______d]

lv00 в сообщении #1053312 писал(а):

Да. Возможность "непричесывания" говорит о том, что есть точка, в которой не определен касательный вектор.

Нет. Она говорит о том, что если в каждой точке сферы нарисовать касательный вектор так, чтобы этот вектор непрерывно зависел от точки, то хотя бы в одной из точек вектор будет нулевым.

lv00 в сообщении #1053312 писал(а):

Плюс, ведь для построения касательного расслоения еще надо выделить непересекающиеся касательные векторы.

Касательные вектора к разным точкам сферы не пересекаются, потому что лежат в разных пространствах. На картинке в 3D может казаться иначе, но там просто недостаточно места.

Я не знаю, какие у Вас целм, но мне кажется, что, если Вы хотите серьёзно работать с указанными конструкциями, их надо изучить более систематически, начиная с многообразий, векторных полей, касательных расслоений, векторных расслоений, а дальше уже переходить к главным расслоениям. На эту тему лично я бы посоветовал книжку Новиков, Тайманов, "Современные геометрические структуры и поля". Главные расслоения там тоже, кажется, есть, как и многое другое, нужное для физики.

[lv00]

Спасибо. Я читал про касательные и векторные расслоения, но, видимо, стоит изучить их более систематически.
Однако во многих источниках не говорится, например, про ту же сферу $S^2$ и касательное расслоение к ней, я даже специально искал через google, но, насколько я помню, ничего действительно дельного не нашел.