Псевдо числа в ВТФ

[lasta]

Определение: Число наделенное свойствами числа $a$ назовем псевдо $a$ и обозначим как $\Psi_a$.
Например, число $9$ обладает исключительно интересными и важными для ВТФ (будет показано позже)следующими свойствами:

$$(10k+9)^{2n+1}\equiv{9} \mod{10}\qquad \e(1) $$

$$(10k+9)^{2n}\equiv{1} \mod{10}\qquad \e(2) $$

$$\sum_{i=0}^n{a_i\cdot10^i}\equiv{\sum_{i=0}^n{a_i}}\mod{9}; \text{(число делится на 9, если делится на 9 сумма его цифр)}\qquad\e(3) $$

$$9r\equiv{-r} \mod{10};\qquad 0<r<10\qquad \e(4)$$

Всеми этими свойствами можно наделить любое число. Для этого достаточно рассматривать это число,например $b-1$ в системе с основанием счисления $b$. Действительно,

$$\forall {(a,b,n;a<b)}, \qquad ab^n\equiv{a} \mod{b-1};\qquad \e(5)$$

Следовательно, в системе с основанием счисления $b$, число $(b-1)_{(b)}={\Psi}_9$ (является псевдодевяткой;нижний индекс $(b)$ обозначает основание счисления), обладает указанными свойствами числа $9$ десятичной системы.
Используя свойства произвольного $\Psi_a$, например $\Psi_9$ в УФ, можно попытаться найти общие ограничения на существование степеней в виде различных многочленов, например, в виде $a^2+ab+b^2$
После рассмотрения этой части можно приступить к поиску этих ограничений.

[bot]

lasta в сообщении #1050549 писал(а):

Число наделенное свойствами числа $a$ назовем псевдо $a$

Что такое свойство? Взять ту же девятку - она наделена свойством быть шестёркой, стало быть это псевдшестёрка, а шестёрка - псевдодевятка?..
А само число $a$ наделено свойствами числа $a$?

[lasta]

bot в сообщении #1050569 писал(а):

А само число $a$ наделено свойствами числа $a$?

Уважаемый bot! Под определением псевдодевятка понимается, что любое число в системе с основанием счисления $b$ (на единицу больше чем число), обладает указанными свойствами девятки. То есть:

$$(bk+\Psi_9)^{2n+1}\equiv{\Psi_9} \mod {b}$$

$$(bk+\Psi_9)^{2n}\equiv{1}\mod{b}$$

$$\sum_{i=0}^n{a_ib^i}\equiv{\sum_{i=0}^n{a_i}}\mod{\Psi_9}; $$

$$\Psi_9r\equiv{-r} \mod{b};\qquad 0<r<\Psi_9$$

[Deggial]

lasta в сообщении #1050549 писал(а):

Определение: Число наделенное свойствами числа $a$ назовем псевдо $a$ и обозначим как $\Psi_a$.

lasta в сообщении #1050549 писал(а):

число $(b-1)_{(b)}={\Psi}_9$

$\Psi_a$ - не функция $a$, потому писать $\text{что-то}=\Psi_a$ вместо $\text{что-то является }\Psi_a$ совершенно неуместно, чревато ошибками. Используйте стандартный синтаксис.
Кроме того, не указано, какими конкретно свойствами? Всеми? Явно не всеми, так как тогда $\Psi_a=a$. Некоторыми? Какими конкретно? Для корректности, следовало бы указать множество свойств $Q$ и писать $\Psi_{a,Q}$.

[lasta]

Deggial в сообщении #1050579 писал(а):

Используйте стандартный синтаксис.

Уважаемый Deggial! Учту ваши замечания. Буду использовать для обозначения псевдодевятки $b-1$, где $b$ - основание счисления. Не используются все свойства $9$, а только указанные (1),(2).(3),(4).(5).

[Deggial]

lasta в сообщении #1050583 писал(а):

Буду использовать для обозначения псевдодевятки $b-1$, где $b$ - основание счисления.

Вы хотите использовать уже занятое обозначение $b-1$ для $\Psi_{9,Q}$? Может тему сразу в Пургаторий перевезти?

[lasta]

Deggial в сообщении #1050588 писал(а):

Вы хотите использовать уже занятое обозначение $b-1$ для $\Psi_{9,Q}$?

Вы меня убедили. Принимается предлагаемое Вами обозначение псевдодевятки - $\Psi_{9,Q}$

[lasta]

Для всех $a_i\in(1,2,3,......8);\qquad a_i/9=0,(a_i);$ все периодические дроби разные. При возведении в куб этих дробей также не будет одинаковых. Следовательно 9 для чисел в пределах 10 не является числом для тройки УФ. Так как в этом случае дробная часть у других чисел тройки должна быть одинаковой.
Не образует одинаковых дробей и выражение $a_i/\Psi_{9,Q}=0,(a_i)$ для чисел в диапазоне $1,2,3,....+(\Psi_{9,Q}-1)$, для основания счисления $\Psi_{9,Q}+1$ . И не будет одинаковых дробей при возведении в куб этих дробей. Следовательно $\Psi_{9,Q}$ также не составляет числа для тройки решения УФ. А так как псевдодевяткой $\Psi_{9,Q}$ может быть любое число, (например, среднее число тройки) то УФ не имеет решения как для кубов, так и для всех других степеней с простым показателем.

[lasta]

Справедливость утверждения следует обсудить сначала на соседних степенях. Это снимет часть вопросов общего случая.

[iifat]

lasta в сообщении #1053239 писал(а):

При возведении в куб этих дробей также не будет одинаковых

А теперь давайте на минутку вычеркнем эти слова. Получилось доказательство теоремы Ферма для степени 1. Как вы думаете, оно верно?

[lasta]

iifat в сообщении #1053471 писал(а):

Получилось доказательство теоремы Ферма для степени 1.

Уважаемый iifat! Получено равенство $(0,(a))^3+1=(1,(c))^3$ в периодических дробях. Это не тривиальное тождество. Если это равенство не существует, то не существует равенство и в натуральных числах. Я не говорю пока о допустимом интервале чисел за пределами основания счисления, считая этот вопрос не сложным.

[Deggial]

lasta в сообщении #1053501 писал(а):

Получено равенство $(0,(a))^3+1=(1,(c))^3$ в периодических дробях.

Заодно получено равенство $(0,(a))^1+1\neq (1,(c))^1$. Оно ошибочно. Значит доказательство ложно.
Кроме того

lasta в сообщении #1053239 писал(а):

$a_i/\Psi_{9,Q}=0,(a_i)$ для чисел в диапазоне $1,2,3,....+(\Psi_{9,Q}-1)$, для основания счисления $\Psi_{9,Q}+1$ .

Вы по-прежнему продолжаете путать число и множество. В случае невнесения ясности в обозначения и формулировки тема поедет в Пургаторий.

iifat в сообщении #1053471 писал(а):

Как вы думаете, оно верно?

Вы находитесь в дискуссионном разделе, значит обязаны ответить на вопрос ЗУ. Отвечайте.

[lasta]

L

iifat в сообщении #1053471 писал(а):

Получилось доказательство теоремы Ферма для степени 1. Как вы думаете, оно верно?

Уважаемый iifat! Доказательство верно, так как не отрицает существование в целых числах равенства для первой степени. Рассматривался только интервал чисел, среди которых находится наименьшее число тройки. Ясно, что периодические дроби при увеличении интервала чисел будут повторятся с интервалом равным псевдодевятке.
Например, для десятичной $4/9=0,(4); 13/9=1,(4); 22/9=2,(4)..... Поэтому УФ для первой степени существует, так как в правой части всегда существует периодическая дробь равная дроби от меньшего числа левой части.

[lasta]

Deggial в сообщении #1053524 писал(а):

Заодно получено равенство $(0,(a))^1+1\neq (1,(c))^1$. Оно ошибочно. Значит доказательство ложно.

Уважаемый Deggial!Следует учитывать числа большие или равные (для соседних степеней) основанию счисления. Периодическая часть дроби повторяется для чисел с шагом равным псевдодевятки. При возвдении в степень этих дробей, проявляются их разные свойства. Первая степень не меняет правую часть. Свойство же квадратов таково, что в равенстве существуют две дроби с равными периодическими частями. Для других простых показателей в допустимом расширенном интервале чисел, в равенстве не существует дробей с равными периодическими частями.

Deggial в сообщении #1053524 писал(а):

Вы по-прежнему продолжаете путать число и множество.

Порожденное бесчисленным множеством оснований счисления, существует множество псевдодевяток ]$\Psi_{9,Q}$, со свойствами (1), (2), (3), (4). Нас интересует произвольная псевдодевятка, являющаяся одним из чисел тройки решения. Обозначим ее как $\Psi_{9,b}$, то есть псевдодевятка, порожденная основанием счисления $b$. И $\Psi_{9,b}\in\Psi_{9,Q}$. Допустимо ли такое обозначение?

[iifat]

Ну хорошо, спрошу подробнее. Вот ваше доказательство

lasta в сообщении #1053239 писал(а):

Для всех $a_i\in(1,2,3,......8);\qquad a_i/9=0,(a_i);$ все периодические дроби разные. При возведении в куб этих дробей также не будет одинаковых. Следовательно 9 для чисел в пределах 10 не является числом для тройки УФ

Вот я пишу рядом своё: Для всех $a_i\in(1,2,3,......8);\qquad a_i/9=0,(a_i);$ все периодические дроби разные. Следовательно 9 для чисел в пределах 10 не является числом для тройки УФ. Кроме последнего предложения все высказывания одинаковы. И, кстати, верны, что в данном случае неважно. Последним предложением у вас идёт УФ для третьей степени, у меня УФ для первой. Доказательства либо оба правильны, либо оба ошибочны.