Псевдо числа в ВТФ

[ananova]

Спасибо за подробный вывод. Возражений нет. Однако, тут речь о девятке, а псевдодевятки могут на 3 не делится. Как тогда?

[lasta]

ananova в сообщении #1056822 писал(а):

псевдодевятки могут на 3 не делится. Как тогда?

Уважаемый ananova! Для простого показателя, либо одна из степеней суммы или сама сумма, если она претендует на степень, должна делиться на 3. Имеем $(a,b,d)\not\equiv 0 \mod{3}$

$$b^p=(a+d)^p=a^p+Padk+d^p;\quad a\equiv{a^p};\quad d\equiv{d^p};\quad \mod3\quad\e(8)$$

Следовательно, $padk\equiv0 \mod3$ и $b^p$ является числом вида $3pk\pm2$. Например для $p=5;\quad b=15k\pm2$. Аналогичный вид будет иметь другая степень. И сумма степеней будет вида $3pk\pm4$, то есть не является претендентом на степень.
Значит у нас всегда имеется одна степень кратная трем, которую можно наделить свойством псевдодевятки. Но это не решает всех проблем.
Рассмотрев простейший случай для 9, надо перейти к следующему шагу и найти рекуррентные соотношения, показывающие, что также как 9, не удовлетворяет Уф и следующая за ней псевдодевятка. Для этого полезно рассмотреть еще одно множество - псевдоодинадцатки.

[lasta]

lasta в сообщении #1057451 писал(а):

Следовательно, $padk\equiv0 \mod3$ и $b^p$ является числом вида $3pk\pm2$.

Здесь ошибка. В (8) надо сравнивать по модулю $3p$. И доказательство делимости на 3 одной из степеней требует доработки.

[lasta]

Все проще. Любую степень с простым показателем больше трех можно представить в виде произведения квадрата и куба. Квадраты - числа вида $9k_1\pm6k_2+1$ , а Кубы - вида $9k_3\pm1$. То есть

$$x^p=(9k_1\pm6k_2+1)(9k_3\pm1)=9k+6k_2\pm1\qquad \e(9)$$

Отсюда видно, что одна из степеней, должна делиться на 3, так как сумма степеней, претендующая на степень, не может быть вида $9k+6k_2\pm2\quad $.

[lasta]

Рассмотрим другое множество псевдо чисел $\Psi_{11,S}$. Где свойство $S$ определяется соотношениями числа 11 в десятичной системе. Для всех $a\in(1,2,3,….10)$,

$$ a/11=0,(cd);\quad c=a-1;\quad d=10-a;\quad c+d=9 \qquad \e (10),$$

то есть $1/11=0,(09);2/11=0,(18);3/11=0,(27);….$

$$11^3-10^3=331; \quad 331=166^2-165^2;\quad \text{разность соседних квадратов} \qquad \e (11)$$

Произвольное число $b$ имеет свойства (10),(11) в системе с основанием счисления $b-1$. Свойство (10) - очевидно. А (11) из равенства

$$(10_{(b-1) }+1)^3-10_{(b-1)}^3=300_{(b-1)}+ 30_{(b-1)}+1=331_{(b-1)}$$

Таким образом, любая соседняя разность кубов представляется числом $331_{(b-1)}$
Такое представление разности соседних кубов дает возможность найти противоречия этого случая УФ. Действительно, так как последовательная сумма кубов равна квадрату

$$1+8=9;\quad1+8+27=36;\quad1+8+27+64=100;\quad1+8+27+64+100=225;…,\quad \e(12)$$

то произвольный куб

$$x^3=a^2-b^2;\quad a-b=x \qquad \e(13)$$

То есть разность соседних кубов представляется разностью соседних квадратов, а все кубы - не соседними квадратами. Остается доказать единственность таких представлений. Понятно, что все нечетные кубы как и любое нечетное число, также могут быть представлены разностью соседних квадратов. Но могут ли быть представлены так все кубы уравнения Ферма?

[lasta]

lasta в сообщении #1058229 писал(а):

$$1+8=9;\quad1+8+27=36;\quad1+8+27+64=100;\quad1+8+27+64+100=225;…,\quad \e(12)$$

Ошибка. Правильно -

$$1+8=9;\quad1+8+27=36;\quad1+8+27+64=100;\quad1+8+27+64+125=225;…,\quad \e(12)$$

[ananova]

lasta в сообщении #1058229 писал(а):

то произвольный куб

$$x^3=a^2-b^2;\quad a-b=x \qquad \e(13)$$

Из Ваших выводов следует, что $x^2=a+b=(a-b)^2$ Например, $a=3, b=1$. Возможно, что это единственный пример.

[lasta]

ananova в сообщении #1058418 писал(а):

Возможно, что это единственный пример.

Уважаемый ananova!

$$ \sum_{i=1}^x{i^3}= \sum_{i=1}^{x-1}{i^3}+x^3=a^2\qquad\e(14),$$

$$ x^2x= a^2-\sum_{i=1}^{x-1}{i^3}=a^2-b^2=(a+b)(a-b) \qquad\e(15)$$

$$x^2=a+b;\quad x=a-b;\quad x^2+x=2a;\quad x^2-x=2b;\quad \e(16)$$

$$(a,b) \exists \forall x$$

Например: $x^3=13^3;\quad a=91;\quad b=78; \quad x^3=(91+78)(91-78)=13^{2}13$
Воспользуюсь случаем обсудить с вами другой вопрос. Какой суммой чисел представить куб, чтобы найти отличия от $331_{(b-1)}$? Имеем

$$x^3=\sum_{i=1}^x{d_i}\quad\text{где} \quad d_i=x_i^3-(x_i-1)^3\quad \e(17)$$

А разность кубов $331=1+7+19+37+61+91+115$
115 не является следующей зa 91 разностью соседних кубов, поэтому число 331 – не куб. Это свойство должны иметь все числа множества $\Psi_{11,S}$ для доказательства случая соседних кубов.

[ananova]

lasta в сообщении #1058482 писал(а):

Воспользуюсь случаем обсудить с вами другой вопрос. Какой суммой чисел представить куб, чтобы найти отличия от $331_{(b-1)}$? Имеем

$$x^3=\sum_{i=1}^x{d_i}\quad\text{где} \quad d_i=x_i^3-(x_i-1)^3\quad \e(17)$$

А разность кубов $331=1+7+19+37+61+91+115$
115 не является следующей зa 91 разностью соседних кубов, поэтому число 331 – не куб. Это свойство должны иметь все числа множества $\Psi_{11,S}$ для доказательства случая соседних кубов

Я не вижу выхода на доказательство ВТФ с помощью Ваших идей, поэтому не вижу необходимости искать отличия от $331_{(b-1)}$. Сорри.

[ananova]

Выявление новых свойств чисел - само по себе занимательное занятие. Поэтому продолжайте тему. Если будут успехи, то читатели темы подключатся с помощью и советами.

[krestovski]

$m^n=S_{m}$

$n=3$

$1_{1} , 7_{2} , 19_{3} , 37_{4} , 61_{5} , 91_{6}...$

$S_{m+1} = S_{m}+ (a_{m} + mn!)$

$a_{m+1} = a_{m} + mn!$