Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Nataly-Mak]

Давно работаю над этой задачей. Сделано немало. Задача очень большая и интересная.
Успела опубликовать две головоломки на сайте primepuzzles.net:

Problem 60. Symmetric primes on each side
http://www.primepuzzles.net/problems/prob_060.htm

Problem 62. Symmetric k-tuples of consecutive primes
http://www.primepuzzles.net/problems/prob_062.htm

Вместе с итальянским коллегой ice00 организовали конкурс

K-Tuples of Primes
http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

Много информации по проблеме вы найдёте в темах:
topic87170.html
topic93581.html

Приглашаю всех форумчан и гостей форума на конкурс!
Конкурс начался сегодня и продлится до 31 декабря текущего года.
Не думаю, что нужно дублировать здесь описание конкурсной задачи. Но на возникшие вопросы готова ответить.

[ice00]

Nataly-Mak в писал(а):

K-Tuples of Primes
http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

Hi all.

In the competition it is used the Wolfrang Alpha beta functions API to test primality on big numbers.
They gives me a fixed 2000 tests in a month, so in average the site can accept 100 solutions every month.

So far the API works fast and good, but if inserting a solution you get an error relative to the API, please, let me know.

Thanks and good competition to all.

[Nataly-Mak]

Несколько штрихов к задаче #1

Для чётных $k$ решение недавно найдено для $k=24$ участником проекта распределённых вычислений Begemot82. Смотрите последовательность в OEIS A081235.
Для нечётных $k$ решение найдено немного раньше для $k=15$ тоже участником проекта Dmitriy40. Смотрите последовательность в OEIS A055380.

А для $k=17$ решения уже найдены в рамках конкурса, их нашёл Jarek. Почему здесь говорится о решениях, а не об одном решении?
Потому что мы пока не знаем решение с минимальным элементом кортежа $p$.
На конкурс принимаются все КПППЧ длины $k>24$ для чётных $k$ и длины $k>15$ для нечётных $k$, и за каждое решение участник получает 1 балл. Наименьшее среди всех найденных решений для каждого $k$ мы определим после конкурса. Но и это решение может оказаться ещё не минимальным.

[Dmitriy40]

Раз открыли новую тему, вынужден повторить свои решения по ней:

Dmitriy40 в сообщении #1051541 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #1050657 писал(а):

Carlos Rivera сегодня опубликовал проблему:
Problem 62. Symmetric k-tuples of consecutive primes http://www.primepuzzles.net/problems/prob_062.htm

Dmitriy40 в сообщении #1050731 писал(а):

Если что, я заслал туда на почту минимальные решения для n=11,12,13,14,16.

Что показательно, с 5-го сентября и до сих пор нет даже подтверждения получения письма. Вот и шли после этого решения указанным на сайте способом ...

Отправленное письмо:

Цитата:

k=11, 1542186111157: 0 6 30 42 60 66 72 90 102 126 132 (minimal)
k=12, 41280160361347: 0 4 6 10 12 22 24 34 36 40 42 46 (minimal)
k=13, 660287401247633: 0 18 24 48 60 78 84 90 108 120 144 150 168 (minimal, found by I at 08 aug 2014)
k=14, 10421030292115097: 0 2 6 12 14 20 26 30 36 42 44 50 54 56 (minimal)
k=16, 996689250471604163: 0 6 8 14 18 24 26 36 38 48 50 56 60 66 68 74 (minimal)

Решения для чётных k 16-го августа выложены тут, нечётные найдены в логах проекта поиска КПППЧ и 24-го августа выложены тут.
Подтверждения получения письма так до сих пор и нет! Т.е. или решения намеренно игнорируются (цензура?! ), или процесс приёма решений недостаточно отлажен и надёжен. IMHO.

ice00
Even solutions the above are also solutions for Task 2.
Solution for Task 3:

Dmitriy40 в сообщении #1052126 писал(а):

Наконец-то найден весьма интересный вариант квадрата, состоящего исключительно из последовательных простых чисел-близнецов (отличающихся в паре ровно на 2):

Используется синтаксис Text

n=16, 1960984050584219159: 0 2 30 32 42 44 48 50 72 74 78 80 90 92 120 122
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       74      80      90              0       74      50      120             0       2       48      50
92      78      72      2               80      90      30      44              30      32      78      80
120     50      44      30              72      2       122     48              42      44      90      92
32      42      48      122             92      78      42      32              72      74      120     122
S=244/7843936202336876880

Причём между парами чисел-близнецов других простых чисел нет. Если я не ошибся, то это минимально возможный диаметр для такого квадрата и сам квадрат тоже минимально возможный (такого диаметра).

[Nataly-Mak]

Dmitriy40
Carlos Rivera публикует полученные им в письмах решения один раз в неделю - каждую субботу.
Подтверждение получения письма он присылает редко, просто опубликует решения и всё.

Что касается решений для конкурса - никто у вас их здесь принимать не будет.
Если хотите, регистрируйтесь на конкурсе и вводите их там.
Выкладывать же решения текущего конкурса на форуме - дурной тон, тем более в специальной теме о конкурсе.
Это понятно всем, кроме вас.

[Dmitriy40]

Могли бы и написать в условиях прямым текстом, мол обрабатываем решения раз в неделю, не торопитесь и не беспокойтесь. Не было бы вопросов.

Я выложил (повторно!) не чужие решения, а свои. Имею право распоряжаться ими как угодно. И выложил тут чтобы желающие не тратили время на поиск уже известных решений. А то развели понимаешь секретность ...

[Nataly-Mak]

Dmitriy40 в сообщении #1052374 писал(а):

Могли бы и написать в условиях прямым текстом, мол обрабатываем решения раз в неделю, не торопитесь и не беспокойтесь. Не было бы вопросов.

Это вы мне?
Я на сайте у Carlos Rivera правила не устанавливаю и отвечать за эти правила не обязана, и сообщать каждому желающему или потенциально желающему ввести решения - тем более не обязана.

Цитата:

Я выложил (повторно!) не чужие решения, а свои. Имею право распоряжаться ими как угодно. И выложил тут чтобы желающие не тратили время на поиск уже известных решений. А то развели понимаешь секретность ...

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #1052277 писал(а):

На конкурс принимаются все КПППЧ длины $k>24$ для чётных $k$ и длины $k>15$ для нечётных $k$, и за каждое решение участник получает 1 балл.

Кстати, о терминологии - для тех, кто пока не в теме.
КПППЧ - Комплементарные Пары Последовательных Простых Чисел; введённый мной термин. Симметричные кортежи из последовательных простых чисел тоже являются КПППЧ. Поэтому иногда ради удобства использую термин КПППЧ.

-- Чт сен 10, 2015 23:56:50 --

Таблица результатов в день старта конкурса:

Цитата:

Pos User Points T1 T2 T3 Last Improvement

1 Jarek 17 13 3 1 10/09/2015
2 Natalia Makarova 2 1 1 10/09/2015

Мои результаты пока чисто тестовые - ввела два известных результата в двух задачах.
Если и буду дальше участвовать в конкурсе (если повезёт и найду хоть один квадратик), мои шансы выиграть конкурс нулевые. Но даже если бы я смогла его выиграть, приз всё равно получила бы не я.
Радуют результаты Jarek!
И очень надеюсь, что кто-нибудь рискнёт с ним посоревноваться

Замечу, что участникам конкурса не запрещается вводить известные решения.
Вводить или не вводить - это дело каждого участника (свобода выбора).

[Nataly-Mak]

Цитата:

For each k in task 2 one point counted towards only those participants, who will have a minimum diameter d.

Поясняю.
В задаче #2 требуется найти решения с минимальным диаметром.
Для каждого $k$ можно найти не одно такое решение.

Пример известных решений
$k=11$ (в конкурсную задачу не входит)

660287401247651: 0, 6, 30, 42, 60, 66, 72, 90, 102, 126, 132
1542186111157: 0, 6, 30, 42, 60, 66, 72, 90, 102, 126, 132

Участник конкурса может найти тоже несколько решений с минимальным диаметром для конкретного $k$.
Он может ввести их все, но ему будет начислен только 1 балл за все решения для данного $k$.
Понятно, что решения все интересны. После конкурса мы выберем среди найденных решений для каждого $k$ решение с минимальным значением элемента кортежа $p$.

В данный момент Jarek в задаче #2 имеет 3 балла; это значит, что он ввёл решения с минимальным диаметром для трёх разных значений $k$.

И ещё один нюанс. В данный момент мы знаем минимальные диаметры до $k=30$ включительно. Для этих длин в программе приёма решений есть проверка минимальности диаметра.
[Я пока не нашла минимальные диаметры для бОльших длин.]
Если кто-то найдёт кортеж длины $30<k \leqslant 50$ - с любым диаметром - может вводить его смело, программа примет решение с любым диаметром и 1 балл будет начислен.

[Nataly-Mak]

О задаче #3 рассказала здесь.

Вот у Jarek и квадраты посыпались, как из рога изобилия

Цитата:

1 Jarek 27 13 3 11 11/09/2015

Уже 11 штук нашёл. А у меня пока нет ни одного.
Думаю, что и заданная верхняя граница для магической константы Jarek не помешает найти кучу квадратов.
Ну, если не тысячу - сто точно найдёт

А форумчане пока очень стесняются конкурировать с Jarek
О себе я уже сказала: не стесняюсь, а не могу. Слабо!

[Nataly-Mak]

В помощь участникам конкурса выкладываю теоретические паттерны с минимальным диаметром для кортежей длин $11<k \leqslant 30$, кроме $k=13$, эта длина в конкурсе не участвует.

(Теоретические паттерны)

k=12
0  4  6  10  12  22  24  34  36  40  42  46
k=14
0  2  6  12  14  20  26  30  36  42  44  50  54  56
k=15
0 6 24 30 54 66 84 90 96 114 126 150 156 174 180
k=16
0  6  8  14  18  24  26  36  38  48  50  56  60  66  68  74 
0  6  8  14  20  24  26  36  38  48  50  54  60  66  68  74
k=17
0  6  24  36  66  84  90  114  120  126  150  156  174  204  216  234  240 
0  12  18  30  42  72  78  102  120  138  162  168  198  210  222  228  240 
0  12  30  42  60  72  78  102  120  138  162  168  180  198  210  228  240
k=18
0  4  10  12  18  22  28  30  40  42  52  54  60  64  70  72  78  82
k=19
0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252
k=20
0  4  6  10  16  18  24  28  30  34  60  64  66  70  76  78  84  88  90  94 
0  4  6  10  16  18  24  28  34  36  58  60  66  70  76  78  84  88  90  94 
0  4  6  10  16  18  24  28  36  46  48  58  66  70  76  78  84  88  90  94 
0  4  6  10  16  18  24  30  34  46  48  60  64  70  76  78  84  88  90  94 
0  4  6  10  16  18  24  34  36  46  48  58  60  70  76  78  84  88  90  94 
0  6  10  16  18  24  28  34  36  46  48  58  60  66  70  76  78  84  88  94
k=21
0  12  30  42  54  60  72  84  114  120  162  204  210  240  252  264  270  282  294  312  324 
0  12  30  42  54  60  84  114  120  144  162  180  204  210  240  264  270  282  294  312  324
k=22
0  6  10  12  16  22  24  30  34  42  52  54  64  72  76  82  84  90  94  96  100  106 
0  6  10  12  16  22  24  30  40  42  52  54  64  66  76  82  84  90  94  96  100  106 
0  6  12  16  22  24  30  34  40  42  52  54  64  66  72  76  82  84  90  94  100  106
k=23
0  6  30  36  42  60  72  102  120  132  162  186  210  240  252  270  300  312  330  336  342  366  372 
0  6  30  36  42  60  102  120  126  132  162  186  210  240  246  252  270  312  330  336  342  366  372 
0  6  30  36  42  72  102  120  132  156  162  186  210  216  240  252  270  300  330  336  342  366  372 
0  6  30  36  42  90  102  120  132  156  162  186  210  216  240  252  270  282  330  336  342  366  372 
0  6  36  42  60  90  102  120  126  132  156  186  216  240  246  252  270  282  312  330  336  366  372
k=24
0  6  12  16  18  22  28  30  36  40  48  58  60  70  78  82  88  90  96  100  102  106  112  118 
0  6  12  18  22  28  30  36  40  46  48  58  60  70  72  78  82  88  90  96  100  106  112  118
k=25
0  6  24  36  60  66  84  120  126  150  186  204  210  216  234  270  294  300  336  354  360  384  396  414  420 
0  6  24  36  66  84  120  126  144  150  186  204  210  216  234  270  276  294  300  336  354  384  396  414  420 
0  6  24  60  66  84  90  120  126  144  186  204  210  216  234  276  294  300  330  336  354  360  396  414  420 
0  6  30  84  90  96  114  126  156  174  180  204  210  216  240  246  264  294  306  324  330  336  390  414  420 
0  12  30  42  48  78  120  132  162  168  180  198  210  222  240  252  258  288  300  342  372  378  390  408  420 
0  12  30  48  78  90  120  132  162  168  180  198  210  222  240  252  258  288  300  330  342  372  390  408  420 
0  24  30  54  60  66  84  96  126  144  156  186  210  234  264  276  294  324  336  354  360  366  390  396  420 
0  24  30  54  60  66  84  126  144  150  156  186  210  234  264  270  276  294  336  354  360  366  390  396  420 
0  24  30  54  60  66  114  126  144  156  180  186  210  234  240  264  276  294  306  354  360  366  390  396  420 
0  24  30  60  66  84  114  126  144  150  156  180  210  240  264  270  276  294  306  336  354  360  390  396  420
k=26
0  6  8  14  20  24  26  30  36  38  44  48  66  68  86  90  96  98  104  108  110  114  120  126  128  134 
0  6  8  14  20  24  26  30  36  38  48  50  66  68  84  86  96  98  104  108  110  114  120  126  128  134 
0  6  8  14  20  24  26  30  36  44  48  50  66  68  84  86  90  98  104  108  110  114  120  126  128  134 
0  6  8  14  20  24  26  30  36  48  50  54  66  68  80  84  86  98  104  108  110  114  120  126  128  134 
0  6  8  14  24  26  30  36  38  44  48  50  66  68  84  86  90  96  98  104  108  110  120  126  128  134 
0  8  14  20  26  30  36  38  44  48  54  56  66  68  78  80  86  90  96  98  104  108  114  120  126  134
k=27
0  6  12  30  42  66  72  90  126  132  156  192  210  216  222  240  276  300  306  342  360  366  390  402  420  426  432 
0  6  12  30  42  72  90  126  132  150  156  192  210  216  222  240  276  282  300  306  342  360  390  402  420  426  432 
0  6  12  36  90  96  102  120  132  162  180  186  210  216  222  246  252  270  300  312  330  336  342  396  420  426  432
k=28
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 42 48 52 70 72 90 94 100 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142 
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 42 52 54 70 72 88 90 100 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142 
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 48 52 54 70 72 88 90 94 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142 
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 52 54 58 70 72 84 88 90 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142 
0 4 10 12 18 28 30 34 40 42 48 52 54 70 72 88 90 94 100 102 108 112 114 124 130 132 138 142
k=29
0  30  36  42  60  72  96  102  120  156  162  186  222  240  246  252  270  306  330  336  372  390  396  420  432  450  456  462  492 
0  30  36  42  60  72  102  120  156  162  180  186  222  240  246  252  270  306  312  330  336  372  390  420  432  450  456  462  492
k=30
0  2  6  12  14  20  26  30  32  36  42  44  50  54  72  74  92  96  102  104  110  114  116  120  126  132  134  140  144  146 
0  2  6  12  14  20  26  30  32  36  42  44  54  56  72  74  90  92  102  104  110  114  116  120  126  132  134  140  144  146 
0  2  6  12  14  20  26  30  32  36  42  54  56  60  72  74  86  90  92  104  110  114  116  120  126  132  134  140  144  146 
0  2  6  12  14  20  30  32  36  42  44  50  54  56  72  74  90  92  96  102  104  110  114  116  126  132  134  140  144  146

Все паттерны я нашла по своей программе.
Vovka17 подтвердил мои результаты. Значит, ошибки уже маловероятны.

К сожалению, я пока так и не освоила алгоритм поиска кортежа по заданному паттерну
Нет, ну для маленьких длин, конечно, могу. А вот для больших длин, увы.

Предлагаю всем попробовать, это же интересно, чёрт возьми!

[Vovka17]

За ночь уже 23! :

1   Jarek   40   14   3   23   12/09/2015

Возникает вопрос. Равнозначны ли представленные задачи, чтобы за любое решение давать 1 балл? На мой взгляд, набрать баллы по задаче №2 гораздо сложнее, чем по №3. За несколько разных решений с минимальным диаметром мы получим только 1 балл, а за $n$ квадратов $n$-баллов. Что если там сотни возможных квадратов? О задачах №1 и №2 можно будет забыть в таком случае?

Ещё вопрос. Никому ведь наперед неизвестны минимальные значения $p$ для задачи №1. Если два человека введут свои решения, как начислятся баллы? Только тому, у кого будет $p$ будет меньше?

Nataly-Mak в сообщении #1052693 писал(а):

А форумчане пока очень стесняются конкурировать с Jarek
О себе я уже сказала: не стесняюсь, а не могу. Слабо!

Никто не стесняется, трудно очень. Для меня каждая представленная вам задача - глобальная проблема. Тут хоть бы что-то найти, а вы прям сразу давайте "конкурировать" с Jarek.

Пока писал, Jarek ввёл ещё решение по задаче №3 и кажется он не намерен останавливаться. Вот то, о чём я говорил...

[Nataly-Mak]

Vovka17 в сообщении #1052741 писал(а):

Возникает вопрос. Равнозначны ли представленные задачи, чтобы за любое решение давать 1 балл? На мой взгляд, набрать баллы по задаче №2 гораздо сложнее, чем по №3. За несколько разных решений с минимальным диаметром мы получим только 1 балл, а за $n$ квадратов $n$-баллов. Что если там сотни возможных квадратов? О задачах №1 и №2 можно будет забыть в таком случае?

Для меня все задачи равнозначные, потому что ни одну из них я не могу решить

Для Jarek да, какая-то из задач проще, какая-то сложнее, однако! заметьте - он решает все три задачи
Наверное, для него находить квадраты проще. А вы читали о том, что без верхней границы для магической константы он мог найти этих квадратов хоть тысячу штук?
А все участники проекта вместе за год нашли всего 7-8 квадратов! Вот вам и разница в подходах, в алгоритмах. Вот оно - мастерство!

Хорошо, если вы умеете легко и быстро искать квадраты, забудьте о задачах 1-2 и ищите квадраты. Это не запрещается.
Все задачи равноправны по начислению баллов, но, разумеется, разные по сложности. К тому же, для каждого персонально одна и та же задача может оказаться сложнее, нежели для других участников. Так что, решайте, что вам больше нравится.

Цитата:

Ещё вопрос. Никому ведь наперед неизвестны минимальные значения $p$ для задачи #1. Если два человека введут свои решения. Как начислятся баллы? Только тому, у кого будет $p$ будет меньше?

В задаче #1 балл начисляется за любое решение, именно потому, что мы не знаем минимальное $p$.
Каждое решение засчитывается независимо от решений других участников.
Конечно, тут можно было ввести "дробиловку" по сравнению результатов разных участников, но я намеренно не стала этого делать. Это усложнило бы программу приёма и проверки решений, которая и без того очень сложная.

Цитата:

Пока писал, Jarek ввёл ещё решение по задаче №3 и кажется он не намерен останавливаться. Вот то, о чём я говорил...

И я о том же говорю
Jarek в задачу вошёл давно, описание-то висит уже три недели. Сейчас он уже собирает результаты.
А наши форумчане-то вошли в задачу ещё "давнее" И...

[Vovka17]

Nataly-Mak в сообщении #1052742 писал(а):

В задаче #1 балл начисляется за любое решение, именно потому, что мы не знаем минимальное $p$.
Каждое решение засчитывается независимо от решений других участников.

Например, участник введет 10 разных решений для одного $k$ с разными $p$ и $d$. Он получит 1 балл за минимальное $p$ или 10 баллов? Если он получит только 1 балл, то фраза "Required to find k-tuples with the minimal value p" не имеет смысла - ведь достаточно просто найти любое (первое) решение для $k$ и переходить к другим задачам?

[Nataly-Mak]

Я уже поясняла про задачу #2:

Nataly-Mak в сообщении #1052441 писал(а):

Цитата:

For each k in task 2 one point counted towards only those participants, who will have a minimum diameter d.

Поясняю.
В задаче #2 требуется найти решения с минимальным диаметром.
Для каждого $k$ можно найти не одно такое решение.

Пример известных решений
$k=11$ (в конкурсную задачу не входит)

660287401247651: 0, 6, 30, 42, 60, 66, 72, 90, 102, 126, 132
1542186111157: 0, 6, 30, 42, 60, 66, 72, 90, 102, 126, 132

Участник конкурса может найти тоже несколько решений с минимальным диаметром для конкретного $k$.
Он может ввести их все, но ему будет начислен только 1 балл за все решения для данного $k$.
Понятно, что решения все интересны. После конкурса мы выберем среди найденных решений для каждого $k$ решение с минимальным значением элемента кортежа $p$.

В данный момент Jarek в задаче #2 имеет 3 балла; это значит, что он ввёл решения с минимальным диаметром для трёх разных значений $k$.

И ещё один нюанс. В данный момент мы знаем минимальные диаметры до $k=30$ включительно. Для этих длин в программе приёма решений есть проверка минимальности диаметра.
[Я пока не нашла минимальные диаметры для бОльших длин.]
Если кто-то найдёт кортеж длины $30<k \leqslant 50$ - с любым диаметром - может вводить его смело, программа примет решение с любым диаметром и 1 балл будет начислен.

Это всё ещё непонятно?
Да, найдите хотя бы одно решение с минимальным диаметром для каждого $k$, и вы получите за каждое решение 1 балл.
Не надо искать 10 решений для одного и того же $k$ с минимальным диаметром.
Но если вам нравится, ищите 10 решений и вводите их все; только для каждого $k$ вы всё равно получите только 1 балл, хоть будет у вас 10 решений.

К фразам не надо придираться. Описание было составлено один раз. Потом оно корректировалось в связи с поступившими замечаниями. У нас с ice00 существует языковой барьер, поэтому я страюсь сводить правки к минимуму. Тяжело объясняться, понимаете?
К тому же, я совсем не знаю английский, а Google переводчик ещё тот, иногда такое напереводит.
Поэтому я и даю здесь пояснения - по-русски. Надеюсь, мой русский всё же лучше моего английского