Что такое равномерная мера?

[Anton_Peplov]

Термин встретился в книжке
Верещагин, Успенский, Шень. Колмогоровская сложность и алгоритмическая вероятность. М.: МЦНМО, 2013.
Там вводится равномерная мера в частном случае, хочется знать, что она такое вообще. Первая страница Google такого термина не знает. Математический энциклопедический словарь под ред. Ю. В. Прохорова тоже. Книга Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. - Интеграл, мера и производная. Общая теория. М.: Наука, 1967 - также расписывается в своем неведении. Про Колмогорова-Фомина, где про меру одна глава, и не говорю. Что это за загадочное такое понятие?

P.S. При наличии выбора желательны ссылки на русском языке.

[Brukvalub]

Поищите в двухтомнике Богачева "Теория меры". А еще хорошо бы набрать сюда хотя бы то определение из книги Верещагин, Успенский, Шень. Колмогоровская сложность и алгоритмическая вероятность, которое дано авторами для частного случая. Может, это вовсе и не мера, просто произошло смешение терминов...

[g______d]

Цилиндрическая мера.

[Anton_Peplov]

Предметный указать двухтомника Богачева слов "равномерная мера" и "цилиндрическая мера" не знает. Знает "цилиндрические множества".

У Верещагина и К такая история. Назовем двоичным словом кортеж нулей и единиц, двоичной последовательностью - бесконечную последовательность нулей и единиц. Рассмотрим пространство всех двоичных последовательностей $\Omega$. Назовем двоичную последовательность продолжением слова $x$, если она начинается со слова $x$. Обозначим $\Omega_x$ множество всех продолжений слова $x$. Легко показать, что система $\{\Omega_x\}$ для всевозможных $x$ образует в $\Omega$ базу топологии, и что эта топология является также кольцом множеств.

Рассмотрим функцию $p(x)$, аргументом которой является двоичное слово, а значением – неотрицательное действительное число. Пусть эта функция такова, что для любого $x$ верно

$p(x) = p(x0) + p(x1)$

Здесь $x0$ – слово $x$, к которому справа дописан символ «$0$», $x1$ – аналогично.

Определим функцию множества $m(\Omega_x) = p(x)$. Можно показать, что такая функция является мерой, заданной на кольце всех открытых множеств (откуда ее можно продолжить по Лебегу с образованием соответствующей сигма-алгебры). Эта мера зависит, конечно, от выбора функции $p(x)$. Далее цитата:

"Равномерная мера получится, если положить меру множества $\Omega_x$ равной $2^{-L(x)}$, где $L(x)$ - длина слова $x$.
"
Здесь хорошо бы отметить, что указанная топология метризуема как раз метрикой $d(\omega_1, \omega_2) = 2^{-n}$, где $n$ - номер (начиная с нуля) первого знака, в котором различаются последовательности $\omega_1$ и $\omega_2$. Множество $\Omega_x$ представляет собой открытый шар, причем каждая точка этого шара является его центром, а радиус его $2^{-L(x)}$, причем радиус совпадает с диаметром, такая вот экзотика. Раиусов, впрочем, у этого шара тоже много, но это не важно. Для простоты можно считать, что радиус один и равен целой степени двойки.

И имею я сильное подозрение, что загадочная равномерная мера - это либо когда мера открытого шара совпадает с его радиусом, либо когда с диаметром, что в данном случае едино.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1052407 писал(а):

Предметный указать двухтомника Богачева слов "равномерная мера" и "цилиндрическая мера" не знает. Знает "цилиндрические множества".

Попробуйте понять, что конструкция у Верещагина и К — это частный случай конструкции, описанной у Богачева в разделе 3.5 на странице 222.

[Anton_Peplov]

Спасибо, попробую.