Предметный указать двухтомника Богачева слов "равномерная мера" и "цилиндрическая мера" не знает. Знает "цилиндрические множества".
У Верещагина и К такая история. Назовем двоичным словом кортеж нулей и единиц, двоичной последовательностью - бесконечную последовательность нулей и единиц. Рассмотрим пространство всех двоичных последовательностей

. Назовем двоичную последовательность продолжением слова

, если она начинается со слова

. Обозначим

множество всех продолжений слова

. Легко показать, что система

для всевозможных

образует в

базу топологии, и что эта топология является также кольцом множеств.
Рассмотрим функцию

, аргументом которой является двоичное слово, а значением – неотрицательное действительное число. Пусть эта функция такова, что для любого

верно

Здесь

– слово

, к которому справа дописан символ «

»,

– аналогично.
Определим функцию множества

. Можно показать, что такая функция является мерой, заданной на кольце всех открытых множеств (откуда ее можно продолжить по Лебегу с образованием соответствующей сигма-алгебры). Эта мера зависит, конечно, от выбора функции

. Далее цитата:
"Равномерная мера получится, если положить меру множества

равной

, где

- длина слова

.
"
Здесь хорошо бы отметить, что указанная топология метризуема как раз метрикой

, где

- номер (начиная с нуля) первого знака, в котором различаются последовательности

и

. Множество

представляет собой открытый шар, причем каждая точка этого шара является его центром, а радиус его

, причем радиус совпадает с диаметром, такая вот экзотика. Раиусов, впрочем, у этого шара тоже много, но это не важно. Для простоты можно считать, что радиус один и равен целой степени двойки.
И имею я сильное подозрение, что загадочная равномерная мера - это либо когда мера открытого шара совпадает с его радиусом, либо когда с диаметром, что в данном случае едино.