fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое равномерная мера?
Сообщение10.09.2015, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8640
Термин встретился в книжке
Верещагин, Успенский, Шень. Колмогоровская сложность и алгоритмическая вероятность. М.: МЦНМО, 2013.
Там вводится равномерная мера в частном случае, хочется знать, что она такое вообще. Первая страница Google такого термина не знает. Математический энциклопедический словарь под ред. Ю. В. Прохорова тоже. Книга Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. - Интеграл, мера и производная. Общая теория. М.: Наука, 1967 - также расписывается в своем неведении. Про Колмогорова-Фомина, где про меру одна глава, и не говорю. Что это за загадочное такое понятие?

P.S. При наличии выбора желательны ссылки на русском языке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое равномерная мера?
Сообщение10.09.2015, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Поищите в двухтомнике Богачева "Теория меры". А еще хорошо бы набрать сюда хотя бы то определение из книги Верещагин, Успенский, Шень. Колмогоровская сложность и алгоритмическая вероятность, которое дано авторами для частного случая. Может, это вовсе и не мера, просто произошло смешение терминов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое равномерная мера?
Сообщение10.09.2015, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Цилиндрическая мера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое равномерная мера?
Сообщение10.09.2015, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8640
Предметный указать двухтомника Богачева слов "равномерная мера" и "цилиндрическая мера" не знает. Знает "цилиндрические множества".

У Верещагина и К такая история. Назовем двоичным словом кортеж нулей и единиц, двоичной последовательностью - бесконечную последовательность нулей и единиц. Рассмотрим пространство всех двоичных последовательностей $\Omega$. Назовем двоичную последовательность продолжением слова $x$, если она начинается со слова $x$. Обозначим $\Omega_x$ множество всех продолжений слова $x$. Легко показать, что система $\{\Omega_x\}$ для всевозможных $x$ образует в $\Omega$ базу топологии, и что эта топология является также кольцом множеств.

Рассмотрим функцию $p(x)$, аргументом которой является двоичное слово, а значением – неотрицательное действительное число. Пусть эта функция такова, что для любого $x$ верно

$p(x) = p(x0) + p(x1)$

Здесь $x0$ – слово $x$, к которому справа дописан символ «$0$», $x1$ – аналогично.

Определим функцию множества $m(\Omega_x) = p(x)$. Можно показать, что такая функция является мерой, заданной на кольце всех открытых множеств (откуда ее можно продолжить по Лебегу с образованием соответствующей сигма-алгебры). Эта мера зависит, конечно, от выбора функции $p(x)$. Далее цитата:

"Равномерная мера получится, если положить меру множества $\Omega_x$ равной $2^{-L(x)}$, где $L(x)$ - длина слова $x$.
"
Здесь хорошо бы отметить, что указанная топология метризуема как раз метрикой $d(\omega_1, \omega_2) = 2^{-n}$, где $n$ - номер (начиная с нуля) первого знака, в котором различаются последовательности $\omega_1$ и $\omega_2$. Множество $\Omega_x$ представляет собой открытый шар, причем каждая точка этого шара является его центром, а радиус его $2^{-L(x)}$, причем радиус совпадает с диаметром, такая вот экзотика. Раиусов, впрочем, у этого шара тоже много, но это не важно. Для простоты можно считать, что радиус один и равен целой степени двойки.

И имею я сильное подозрение, что загадочная равномерная мера - это либо когда мера открытого шара совпадает с его радиусом, либо когда с диаметром, что в данном случае едино.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое равномерная мера?
Сообщение11.09.2015, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Anton_Peplov в сообщении #1052407 писал(а):
Предметный указать двухтомника Богачева слов "равномерная мера" и "цилиндрическая мера" не знает. Знает "цилиндрические множества".


Попробуйте понять, что конструкция у Верещагина и К — это частный случай конструкции, описанной у Богачева в разделе 3.5 на странице 222.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое равномерная мера?
Сообщение11.09.2015, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8640
Спасибо, попробую.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group