Магические квадраты

[Toucan]

Dmitriy40, замечание за оффтопик.

Nataly-Mak, строгое предупреждение за хамство. Плюс повторное предупреждение за обсуждение действий модератора вне раздела "Работа форума". По итогам - три дня отдыха от форума.

[Nataly-Mak]

В хронологическом порядке

Dmitriy40 в сообщении #1041080 писал(а):

Существует, один единственный вариант паттерна, я уже писал, мной уже найден:

Используется синтаксис Text

        Ассоцитивный                        Пандиагональный                          Стенли
0       40      64      60              0       40      52      72              0       10      42      52
70      54      30      10              64      60      12      28              12      22      54      64
72      52      28      12              30      10      82      42              18      28      60      70
22      18      42      82              70      54      18      22              30      40      72      82
S=164

Потом не говорите что его нашли Вы

Begemot82 в сообщении #1040983 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1040965 писал(а):

Интересно будет поискать квадрат из КПППЧ диаметром 82 ... Будет абсолютный рекорд компакности квадрата

Интересно будет посмотреть на паттерн

Вот: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82

Dmitriy40 в сообщении #1043404 писал(а):

Ух, а оказывается КПППЧ длины 16 и диаметром 82 уже давно найдена! Да не одна, а целых три. Да похоже ещё и минимальная.

Jarek в сообщении #751870 писал(а):

There exist exactly 3 numbers n below 192*47# such that all the 16 numbers n+d, where d = 0, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 82, are prime:

78830573871633653539 (20 digits)
94505039351105832919 (20 digits)
110732011215202177249 (21 digits)

In all 3 cases the 16 primes are in fact consecutive primes.

Each of those 16-element sets of primes can be used to construct a pandiagonal magic square.

Соответственно из них составляются квадраты, покажу их все 3:

Используется синтаксис Text

78830573871633653539: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
94505039351105832919: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
110732011215202177249: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
        Ассоцитивный                        Пандиагональный                          Стенли
0       40      64      60              0       40      52      72              0       10      42      52
70      54      30      10              64      60      12      28              12      22      54      64
72      52      28      12              30      10      82      42              18      28      60      70
22      18      42      82              70      54      18      22              30      40      72      82
S=164/315322295486534614156
S=164/378020157404423331676
S=164/442928044860808708996

И это абсолютный рекорд компактности квадрата!
Ну и плюс три известных квадрата, всего их оказывается уже 10.

Поразительно насколько далеко друг от друга находятся минимальный квадрат (170693941183817) и самый наикомпактный квадрат (78830573871633653539), числа отличаются в 462 тысячи раз!

Цитата:

Потом не говорите что его нашли Вы

Цитата:

Соответственно из них составляются квадраты, покажу их все 3

«Браво, браво, браво!» ©

[Dmitriy40]

Да, можете считать что результат в части построения паттерна квадрата минимального диаметра был мною независимо повторён, т.к. при построении паттернов КПППЧ и квадратов (в соседней теме) того сообщения не видел (170 страниц просматривать убиться можно).
Разумеется в свете новой информации я вовсе не претендую ни на какой приоритет. Хотя самих квадратов тогда нигде опубликовано и не было (и в ответ на первое процитированное моё сообщение никто не указал, что искомые КПППЧ уже давно найдены), но построить их достаточно легко и очевидно, потому квадраты никоим образом не присваиваю.
Так что ваши претензии непонятны. Все люди, все могут ошибаться и повторять уже известные результаты.

[Dmitriy40]

Наконец-то найден весьма интересный вариант квадрата, состоящего исключительно из последовательных простых чисел-близнецов (отличающихся в паре ровно на 2):

Используется синтаксис Text

n=16, 1960984050584219159: 0 2 30 32 42 44 48 50 72 74 78 80 90 92 120 122
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       74      80      90              0       74      50      120             0       2       48      50
92      78      72      2               80      90      30      44              30      32      78      80
120     50      44      30              72      2       122     48              42      44      90      92
32      42      48      122             92      78      42      32              72      74      120     122
S=244/7843936202336876880

Причём между парами чисел-близнецов других простых чисел нет. Если я не ошибся, то это минимально возможный диаметр для такого квадрата и сам квадрат тоже минимально возможный (такого диаметра).
Вообще-же возможны следующие диаметры для таких квадратов: 122 (единственный паттерн, выше), 146 (два паттерна), 152 (два паттерна), 164 (два паттерна), 176 (три паттерна), 182 (один паттерн), 188 (один паттерн), 194 (один паттерн). Ещё бОльшие диаметры не искал. Насколько мне известно, ни одного квадрата из таких чисел (последовательные простые и исключительно близнецы) ранее найдено не было.

[Dmitriy40]

Покажу соответствующие паттерны квадратов:

Используется синтаксис Text

0 2 30 32 42 44 48 50 72 74 78 80 90 92 120 122
0 2 12 14 30 32 42 44 102 104 114 116 132 134 144 146
0 2 12 14 42 44 54 56 90 92 102 104 132 134 144 146
0 2 12 14 30 32 42 44 108 110 120 122 138 140 150 152
0 2 30 32 42 44 72 74 78 80 108 110 120 122 150 152
0 2 30 32 42 44 72 74 90 92 120 122 132 134 162 164
0 2 30 32 60 62 72 74 90 92 102 104 132 134 162 164
0 2 12 14 42 44 54 56 120 122 132 134 162 164 174 176
0 2 30 32 42 44 72 74 102 104 132 134 144 146 174 176
0 2 42 44 60 62 72 74 102 104 114 116 132 134 174 176
0 2 30 32 42 44 72 74 108 110 138 140 150 152 180 182
0 2 30 32 60 62 90 92 96 98 126 128 156 158 186 188
0 2 30 32 42 44 72 74 120 122 150 152 162 164 192 194

Все они являются и КПППЧ, и КПППЧБ (состоят только из чисел-близнецов без пропусков и прочих простых чисел).

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1052126 писал(а):

Наконец-то найден весьма интересный вариант квадрата, состоящего исключительно из последовательных простых чисел-близнецов (отличающихся в паре ровно на 2):

Становится все интересней и интересней.
Что там на очереди? Квадруплеты $Q={0-2-6-8}$ ?
Четыре последовательных квардруплета ${Q_1, 30n-8, Q_2, 30m-8, Q_3, 30n-8, Q_4}$
диаметром 30(2n+m)+8 и патерном:

0,2,6,8, 30n,30n+2,30n+6,30n+8, 30(n+m),30(n+m)+2,30(n+m)+6, 30(n+m)+8, 30(2n+m),30(2n+m)+2,30(2n+m)+6,30(2n+m)+8

Будет из них квадраты собираться?

[Dmitriy40]

Квадраты будут собираться, да, вот из этих паттернов (диаметр до 1000):

Используется синтаксис Text

0 2 6 8 120 122 126 128 210 212 216 218 330 332 336 338
0 2 6 8 90 92 96 98 300 302 306 308 390 392 396 398
0 2 6 8 90 92 96 98 330 332 336 338 420 422 426 428
0 2 6 8 30 32 36 38 420 422 426 428 450 452 456 458
0 2 6 8 120 122 126 128 330 332 336 338 450 452 456 458
0 2 6 8 210 212 216 218 330 332 336 338 540 542 546 548
0 2 6 8 180 182 186 188 420 422 426 428 600 602 606 608
0 2 6 8 210 212 216 218 390 392 396 398 600 602 606 608
0 2 6 8 300 302 306 308 330 332 336 338 630 632 636 638
0 2 6 8 30 32 36 38 630 632 636 638 660 662 666 668
0 2 6 8 120 122 126 128 540 542 546 548 660 662 666 668
0 2 6 8 210 212 216 218 450 452 456 458 660 662 666 668
0 2 6 8 240 242 246 248 420 422 426 428 660 662 666 668
0 2 6 8 90 92 96 98 630 632 636 638 720 722 726 728
0 2 6 8 210 212 216 218 540 542 546 548 750 752 756 758
0 2 6 8 330 332 336 338 420 422 426 428 750 752 756 758
0 2 6 8 90 92 96 98 720 722 726 728 810 812 816 818
0 2 6 8 210 212 216 218 600 602 606 608 810 812 816 818
0 2 6 8 390 392 396 398 420 422 426 428 810 812 816 818
0 2 6 8 120 122 126 128 720 722 726 728 840 842 846 848
0 2 6 8 330 332 336 338 510 512 516 518 840 842 846 848
0 2 6 8 210 212 216 218 660 662 666 668 870 872 876 878
0 2 6 8 240 242 246 248 630 632 636 638 870 872 876 878
0 2 6 8 330 332 336 338 540 542 546 548 870 872 876 878
0 2 6 8 90 92 96 98 840 842 846 848 930 932 936 938
0 2 6 8 210 212 216 218 720 722 726 728 930 932 936 938
0 2 6 8 300 302 306 308 630 632 636 638 930 932 936 938
0 2 6 8 420 422 426 428 510 512 516 518 930 932 936 938
0 2 6 8 330 332 336 338 630 632 636 638 960 962 966 968

Но квадруплеты думаю не особо интересно, это близнецы как бы выделены среди всех прочих подпоследовательностей простых чисел, а остальных можно напридумывать много всяких.

[Nataly-Mak]

Пандиагональных квадратов 4-го порядка из самых компактных КПППЧ длины 16 с диаметром 82 не просто много, а очень много.
Jarek в момент появления описания конкурсной задачи берёт этот паттерн (найденный им давным-давно)

0, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 82

и быстро находит много КПППЧ по заданному паттерну:

5782290971330101557799
86626497666472385701549
148519612556430230871589
252817794258769146656719
255297836561152277222779
365906478100144127235559
372892284538006573920049
374541929668867924737859
385250283458417894901469
603426671076333364284109
608439236788260892144579
634213218262601800883509
666857307384943839104389
689309475375265586661289

здесь приведены первые элементы кортежей, то есть, например, первый кортеж выглядит так:

5782290971330101557799: 0, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 82

Он написал мне, что может найти таких КПППЧ хоть тысячу штук. Именно поэтому было принято решение изменить условие конкурсной задачи #3, введя верхнюю границу для магической константы квадратов. Первоначально была указана только нижняя граница для магической константы. Теперь условие для магической константы выглядит так:

$94615738903617540 < S < 29643562211780078520$

Для таких магических констант квадратиков будет уже значительно меньше, хотя они, конечно, будут.

Продемонстрировала ещё один яркий пример эффективного поиска КПППЧ по заданному паттерну.

[Nataly-Mak]

Задачку подкину для разнообразия
Это задачка из давнишней головоломки
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_769.htm
повисла задачка.
Такие малюсенькие магические квадратики порядков 3 и 4 не хотят составляться.

Массив простых чисел-близнецов у меня есть небольшой, всего 100000 пар.
Что надо? Надо составить магический квадрат 3-го порядка (для начала, потом магический квадрат 4-го порядка) из первых чисел пар-близнецов (пары близнецов должны следовать подряд).

Перевожу задачу на симметричные кортежи, только здесь, разумеется, кортежи будут не из последовательных простых чисел.
Кортежи возможны по следующим паттернам:

{0, 12, 24, 30, 42, 54, 60, 72, 84}
{0, 30, 54, 60, 84, 108, 114, 138, 168}
{0, 30, 60, 84, 114, 144, 168, 198, 228}
{0, 30, 42, 60, 72, 84, 102, 114, 144}

Это не все теоретически возможные паттерны, видимо, есть и другие, я не проверяла.
Проверила свой массив, нашла кортеж с первыми пятью правильными элементами по последнему паттерну:

3664649,  3664679,  3664691,  3664709,  3664721,  0  0  0  0 

Надо расширять массив близнецов. Задача, вообще говоря, несложная.
Пробовали решать задачу на форуме ПЕН с 12d3. Он писал программку, но что-то не заладилось. Так и не решили.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #1041781 писал(а):

Почта принесла печальное известие: 10 июня 2015 г. ушёл из жизни Чебраков Юрий Владимирович
автор книги
Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. — СПб: СПбГУ, 1995. — 388 с. — ISBN 5-7422-0015-3.

Информация есть в Википедии.

Увидел только что - был ошарашен. Странная штука жизнь.
Страница Юрия Чебракова
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ Юрия Чебракова
8 января этого года я получил от него письмо:
"Меня зовут Чебраков Юрий Владимирович. В конце декабря 2014 года я передал в типографию Политехнического университета макеты трех моих новых книг по Теории магических матриц (ТММ) (2-ое изд.), в которых я в меру своих сил и способностей продолжаю развивать алгебраический и функциональный подходы к решению задач о ММ, развитием которых ранее занимались Л. Эйлер, В.П. Ермаков, Г. Тарри (G.Tarry), В. Эндрюс, Г. Дьюдени, Ф. Фиттинг, Е. Казалас, В.Хорнер, М.М. Постников и др.

Книги будут напечатаны в январе 2015 года.

В связи с завершением этой большой работы, в начале января этого года у меня появилось время и возможность познакомиться с тем, как в настоящее время представлена ТММ в русскоязычном и-нет.
..."

Наша переписка была непродолжительной:
"23.01.2015

Уважаемый Сергей!

Спасибо, за присылку первой части.
Теперь буду читать все по порядку."

Я ждал от него письма, но...

Человек жив, пока о нем помнят. Вечная память!

[Dmitriy40]

Интересные варианты простых магических квадратов, все числа которых встретились подряд начиная с некоторой позиции после запятой в числе $\pi$:

n=9, pos=3311, x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9   ;..587631 (7 6 3 5 9 4 2 1 8) 73125..
2   7   6
9   5   1
4   3   8
S=15

n=16, pos=55380, x: 11 12 25 34 35 46 58 59 60 61 71 73 80 84 93 94   ;..07045 (80 61 34 46 73 12 71 59 11 94 60 84 35 93 58 25) 98778..
11   46   73   94
84   93   12   35
71   60   59   34
58   25   80   61
S=224

и в числе e:

n=9, pos=1730, x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9   ;..88970 (7 1 9 4 2 5 8 6 3) 98772..
2   7   6
9   5   1
4   3   8
S=15

[Dmitriy40]

Простые магические квадраты из последовательных чисел-близнецов (включая наименьший):

Используется синтаксис Text

2659609259: 0 2 108 110 150 152 240 242 390 392 480 482 522 524 630 632
0       110     524     630
480     392     242     150
632     240     390     2
152     522     108     482
S=1264/10638438300

8105919467: 0 2 294 296 882 884 900 902 1194 1196 1212 1214 1800 1802 2094 2096
0       884     1214    2094
1800    1196    902     294
2096    900     1194    2
296     1212    882     1802
S=4192/32423682060

10148920427: 0 2 60 62 114 116 240 242 354 356 480 482 534 536 594 596
0       62      536     594
480     356     242     114
596     240     354     2
116     534     60      482
S=1192/40595682900

10994604947: 0 2 42 44 300 302 600 602 1224 1226 1524 1526 1782 1784 1824 1826
0       44      1784    1824
600     1526    302     1224
1826    300     1524    2
1226    1782    42      602
S=3652/43978423440

13550981441: 0 2 126 128 240 242 996 998 1110 1112 1866 1868 1980 1982 2106 2108
126     2       2108    1980
1866    1112    998     240
1982    996     1110    128
242     2106    0       1868
S=4216/54203929980

32849715209: 0 2 210 212 318 320 420 422 1098 1100 1200 1202 1308 1310 1518 1520
0       320     1202    1518
420     1310    212     1098
1520    210     1308    2
1100    1200    318     422
S=3040/131398863876

42092745269: 0 2 150 152 210 212 420 422 1032 1034 1242 1244 1302 1304 1452 1454
0       152     1304    1452
420     1244    212     1032
1454    210     1242    2
1034    1302    150     422
S=2908/168370983984

Ассоциативный, пандиагональный квадраты и квадрат Стенли из последовательных чисел-близнецов (наименьший):

Используется синтаксис Text

71580585467: 0 2 180 182 420 422 600 602 1194 1196 1374 1376 1614 1616 1794 1796
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       602     1376    1614            0       602     1196    1794            0       2       1194    1196
1616    1374    600     2               1376    1614    180     422             180     182     1374    1376
1794    1196    422     180             600     2       1796    1194            420     422     1614    1616
182     420     1194    1796            1616    1374    420     182             600     602     1794    1796
S=3592/286322345460

PS. Во всех случаях между последовательными парами простых чисел-близнецов есть и одиночные простые числа, они игнорировались.

-- 16.10.2015, 09:31 --

Ещё несколько пандиагональных/ассоциативных квадратиков из последовательных чисел на множестве простых чисел-близнецов:

Используется синтаксис Text

n=16, 107434242677: 0 2 12 14 180 182 192 194 702 704 714 716 882 884 894 896
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       194     716     882             0       194     704     894             0       2       702     704
884     714     192     2               716     882     12      182             12      14      714     716
894     704     182     12              192     2       896     702             180     182     882     884
14      180     702     896             884     714     180     14              192     194     894     896
S=1792/429736972500

n=16, 133081917971: 0 2 60 62 210 212 270 272 1050 1052 1110 1112 1260 1262 1320 1322
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       272     1112    1260            0       272     1052    1320            0       2       1050    1052
1262    1110    270     2               1112    1260    60      212             60      62      1110    1112
1320    1052    212     60              270     2       1322    1050            210     212     1260    1262
62      210     1050    1322            1262    1110    210     62              270     272     1320    1322
S=2644/532327674528

n=16, 153374653349: 0 2 570 572 1080 1082 1650 1652 2478 2480 3048 3050 3558 3560 4128 4130
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1652    3050    3558            0       1652    2480    4128            0       2       2478    2480
3560    3048    1650    2               3050    3558    570     1082            570     572     3048    3050
4128    2480    1082    570             1650    2       4130    2478            1080    1082    3558    3560
572     1080    2478    4130            3560    3048    1080    572             1650    1652    4128    4130
S=8260/613498621656

n=16, 164742397427: 0 2 912 914 1242 1244 2154 2156 2520 2522 3432 3434 3762 3764 4674 4676
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       2156    3434    3762            0       2156    2522    4674            0       2       2520    2522
3764    3432    2154    2               3434    3762    912     1244            912     914     3432    3434
4674    2522    1244    912             2154    2       4676    2520            1242    1244    3762    3764
914     1242    2520    4676            3764    3432    1242    914             2154    2156    4674    4676
S=9352/658969599060

n=16, 256861300667: 0 2 180 182 684 686 864 866 2160 2162 2340 2342 2844 2846 3024 3026
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       866     2342    2844            0       866     2162    3024            0       2       2160    2162
2846    2340    864     2               2342    2844    180     686             180     182     2340    2342
3024    2162    686     180             864     2       3026    2160            684     686     2844    2846
182     684     2160    3026            2846    2340    684     182             864     866     3024    3026
S=6052/1027445208720

n=16, 368187511331: 0 2 300 302 420 422 720 722 1926 1928 2226 2228 2346 2348 2646 2648
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       722     2228    2346            0       722     1928    2646            0       2       1926    1928
2348    2226    720     2               2228    2346    300     422             300     302     2226    2228
2646    1928    422     300             720     2       2648    1926            420     422     2346    2348
302     420     1926    2648            2348    2226    420     302             720     722     2646    2648
S=5296/1472750050620

n=16, 391617078329: 0 2 630 632 822 824 1452 1454 2280 2282 2910 2912 3102 3104 3732 3734
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1454    2912    3102            0       1454    2282    3732            0       2       2280    2282
3104    2910    1452    2               2912    3102    630     824             630     632     2910    2912
3732    2282    824     630             1452    2       3734    2280            822     824     3102    3104
632     822     2280    3734            3104    2910    822     632             1452    1454    3732    3734
S=7468/1566468320784

n=16, 396987872837: 0 2 180 182 372 374 420 422 552 554 600 602 792 794 972 974
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       554     602     792             0       554     422     972             0       2       420     422
794     600     552     2               602     792     180     374             180     182     600     602
972     422     374     180             552     2       974     420             372     374     792     794
182     372     420     974             794     600     372     182             552     554     972     974
S=1948/1587951493296

n=16, 448747527377: 0 2 492 494 840 842 1122 1124 1332 1334 1614 1616 1962 1964 2454 2456
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1334    1616    1962            0       1334    1124    2454            0       2       1122    1124
1964    1614    1332    2               1616    1962    492     842             492     494     1614    1616
2454    1124    842     492             1332    2       2456    1122            840     842     1962    1964
494     840     1122    2456            1964    1614    840     494             1332    1334    2454    2456
S=4912/1794990114420

n=16, 449067472349: 0 2 108 110 420 422 528 530 1122 1124 1230 1232 1542 1544 1650 1652
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       530     1232    1542            0       530     1124    1650            0       2       1122    1124
1544    1230    528     2               1232    1542    108     422             108     110     1230    1232
1650    1124    422     108             528     2       1652    1122            420     422     1542    1544
110     420     1122    1652            1544    1230    420     110             528     530     1650    1652
S=3304/1796269892700

-- 16.10.2015, 09:45 --

И ещё несколько пандиагональных/ассоциативных квадратиков из последовательных чисел на множестве простых чисел-близнецов:

Используется синтаксис Text

n=16, 527896493459: 0 2 210 212 1020 1022 1068 1070 1230 1232 1278 1280 2088 2090 2298 2300
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1232    1280    2088            0       1232    1070    2298            0       2       1068    1070
2090    1278    1230    2               1280    2088    210     1022            210     212     1278    1280
2298    1070    1022    210             1230    2       2300    1068            1020    1022    2088    2090
212     1020    1068    2300            2090    1278    1020    212             1230    1232    2298    2300
S=4600/2111585978436

n=16, 562652190239: 0 2 240 242 408 410 648 650 1230 1232 1470 1472 1638 1640 1878 1880
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       650     1472    1638            0       650     1232    1878            0       2       1230    1232
1640    1470    648     2               1472    1638    240     410             240     242     1470    1472
1878    1232    410     240             648     2       1880    1230            408     410     1638    1640
242     408     1230    1880            1640    1470    408     242             648     650     1878    1880
S=3760/2250608764716

n=16, 572936863379: 0 2 240 242 630 632 870 872 1062 1064 1302 1304 1692 1694 1932 1934
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       872     1304    1692            0       872     1064    1932            0       2       1062    1064
1694    1302    870     2               1304    1692    240     632             240     242     1302    1304
1932    1064    632     240             870     2       1934    1062            630     632     1692    1694
242     630     1062    1934            1694    1302    630     242             870     872     1932    1934
S=3868/2291747457384

n=16, 585017594879: 0 2 210 212 828 830 912 914 1038 1040 1122 1124 1740 1742 1950 1952
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1040    1124    1740            0       1040    914     1950            0       2       912     914
1742    1122    1038    2               1124    1740    210     830             210     212     1122    1124
1950    914     830     210             1038    2       1952    912             828     830     1740    1742
212     828     912     1952            1742    1122    828     212             1038    1040    1950    1952
S=3904/2340070383420

n=16, 666616769879: 0 2 210 212 342 344 552 554 1398 1400 1608 1610 1740 1742 1950 1952
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       554     1610    1740            0       554     1400    1950            0       2       1398    1400
1742    1608    552     2               1610    1740    210     344             210     212     1608    1610
1950    1400    344     210             552     2       1952    1398            342     344     1740    1742
212     342     1398    1952            1742    1608    342     212             552     554     1950    1952
S=3904/2666467083420

n=16, 683094947891: 0 2 210 212 648 650 858 860 948 950 1158 1160 1596 1598 1806 1808
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       860     1160    1596            0       860     950     1806            0       2       948     950
1598    1158    858     2               1160    1596    210     650             210     212     1158    1160
1806    950     650     210             858     2       1808    948             648     650     1596    1598
212     648     948     1808            1598    1158    648     212             858     860     1806    1808
S=3616/2732379795180

n=16, 719957262599: 0 2 42 44 210 212 252 254 378 380 420 422 588 590 630 632
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       254     422     588             0       254     380     630             0       2       378     380
590     420     252     2               422     588     42      212             42      44      420     422
630     380     212     42              252     2       632     378             210     212     588     590
44      210     378     632             590     420     210     44              252     254     630     632
S=1264/2879829051660

n=16, 747605101181: 0 2 420 422 726 728 1080 1082 1146 1148 1500 1502 1806 1808 2226 2228
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1148    1502    1806            0       1148    1082    2226            0       2       1080    1082
1808    1500    1146    2               1502    1806    420     728             420     422     1500    1502
2226    1082    728     420             1146    2       2228    1080            726     728     1806    1808
422     726     1080    2228            1808    1500    726     422             1146    1148    2226    2228
S=4456/2990420409180

n=16, 783118581809: 0 2 198 200 870 872 912 914 1068 1070 1110 1112 1782 1784 1980 1982
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1070    1112    1782            0       1070    914     1980            0       2       912     914
1784    1110    1068    2               1112    1782    198     872             198     200     1110    1112
1980    914     872     198             1068    2       1982    912             870     872     1782    1784
200     870     912     1982            1784    1110    870     200             1068    1070    1980    1982
S=3964/3132474331200

[Dmitriy40]

И ещё несколько пандиагональных/ассоциативных квадратиков из последовательных чисел на множестве простых чисел-близнецов:

Используется синтаксис Text

n=16, 831394600109: 0 2 462 464 558 560 990 992 1020 1022 1452 1454 1548 1550 2010 2012
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       1022    1454    1548            0       1022    992     2010            0       2       990     992
1550    1452    1020    2               1454    1548    462     560             462     464     1452    1454
2010    992     560     462             1020    2       2012    990             558     560     1548    1550
464     558     990     2012            1550    1452    558     464             1020    1022    2010    2012
S=4024/3325578404460

n=16, 925165018289: 0 2 42 44 768 770 810 812 1860 1862 1902 1904 2628 2630 2670 2672
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       812     1904    2628            0       812     1862    2670            0       2       1860    1862
2630    1902    810     2               1904    2628    42      770             42      44      1902    1904
2670    1862    770     42              810     2       2672    1860            768     770     2628    2630
44      768     1860    2672            2630    1902    768     44              810     812     2670    2672
S=5344/3700660078500

n=16, 967534030187: 0 2 30 32 72 74 102 104 492 494 522 524 564 566 594 596
        Ассоцитивный                                Пандиагональный                          Стенли
0       104     524     564             0       104     494     594             0       2       492     494
566     522     102     2               524     564     30      74              30      32      522     524
594     494     74      30              102     2       596     492             72      74      564     566
32      72      492     596             566     522     72      32              102     104     594     596
S=1192/3870136121940

Для остальных приведу лишь образующую последовательность:

Используется синтаксис Text

n=16, 1152603566369: 0 2 168 170 192 194 360 362 1650 1652 1818 1820 1842 1844 2010 2012
n=16, 1159654769417: 0 2 210 212 300 302 510 512 552 554 762 764 852 854 1062 1064
n=16, 1467816599999: 0 2 462 464 1650 1652 2040 2042 2112 2114 2502 2504 3690 3692 4152 4154
n=16, 1471934328419: 0 2 240 242 552 554 792 794 1050 1052 1290 1292 1602 1604 1842 1844
n=16, 1528900554281: 0 2 36 38 630 632 666 668 2190 2192 2226 2228 2820 2822 2856 2858
n=16, 1655863808999: 0 2 162 164 330 332 492 494 1848 1850 2010 2012 2178 2180 2340 2342
n=16, 1834818660221: 0 2 486 488 600 602 1086 1088 2130 2132 2616 2618 2730 2732 3216 3218
n=16, 2001333840839: 0 2 12 14 210 212 222 224 618 620 630 632 828 830 840 842
n=16, 2041725624539: 0 2 390 392 1428 1430 1818 1820 1950 1952 2340 2342 3378 3380 3768 3770
n=16, 2044373622869: 0 2 138 140 312 314 420 422 450 452 558 560 732 734 870 872
n=16, 2228985010517: 0 2 390 392 480 482 870 872 1302 1304 1692 1694 1782 1784 2172 2174
n=16, 2233956028721: 0 2 30 32 828 830 858 860 1710 1712 1740 1742 2538 2540 2568 2570
n=16, 2276421086207: 0 2 210 212 714 716 924 926 1320 1322 1530 1532 2034 2036 2244 2246
n=16, 2291598767369: 0 2 330 332 372 374 678 680 702 704 1008 1010 1050 1052 1380 1382
n=16, 2315096125817: 0 2 870 872 924 926 1080 1082 1794 1796 1950 1952 2004 2006 2874 2876
n=16, 2338302039497: 0 2 1164 1166 1230 1232 1320 1322 2394 2396 2484 2486 2550 2552 3714 3716
n=16, 2405608673021: 0 2 138 140 570 572 708 710 1038 1040 1176 1178 1608 1610 1746 1748
n=16, 2637791784737: 0 2 660 662 810 812 1362 1364 1470 1472 2022 2024 2172 2174 2832 2834
n=16, 2676164641877: 0 2 60 62 180 182 240 242 504 506 564 566 684 686 744 746
n=16, 2721105912197: 0 2 30 32 462 464 492 494 1590 1592 1620 1622 2052 2054 2082 2084
n=16, 2773517293739: 0 2 132 134 720 722 852 854 918 920 1050 1052 1638 1640 1770 1772
n=16, 2817706137479: 0 2 132 134 210 212 342 344 540 542 672 674 750 752 882 884
n=16, 2996827411181: 0 2 858 860 1050 1052 1290 1292 1908 1910 2148 2150 2340 2342 3198 3200
n=16, 3157430062481: 0 2 210 212 648 650 858 860 2718 2720 2928 2930 3366 3368 3576 3578
n=16, 3161705710307: 0 2 132 134 210 212 342 344 930 932 1062 1064 1140 1142 1272 1274
n=16, 3377298063509: 0 2 210 212 702 704 912 914 1638 1640 1848 1850 2340 2342 2550 2552
n=16, 3414208758767: 0 2 294 296 330 332 624 626 750 752 1044 1046 1080 1082 1374 1376
n=16, 3533769146879: 0 2 210 212 672 674 780 782 882 884 990 992 1452 1454 1662 1664
n=16, 3576381803117: 0 2 210 212 342 344 552 554 762 764 972 974 1104 1106 1314 1316
n=16, 3637062260729: 0 2 300 302 1848 1850 2148 2150 2550 2552 2850 2852 4398 4400 4698 4700
n=16, 4065902094377: 0 2 342 344 420 422 762 764 1980 1982 2322 2324 2400 2402 2742 2744
n=16, 4096070888729: 0 2 330 332 450 452 780 782 882 884 1212 1214 1332 1334 1662 1664
n=16, 4129656156539: 0 2 42 44 300 302 342 344 600 602 642 644 900 902 942 944
n=16, 5094322398791: 0 2 348 350 810 812 1158 1160 1680 1682 2028 2030 2490 2492 2838 2840
n=16, 5312380813979: 0 2 660 662 780 782 1260 1262 1440 1442 1920 1922 2040 2042 2700 2702
n=16, 5357334220319: 0 2 30 32 42 44 72 74 180 182 210 212 222 224 252 254
n=16, 5386367843177: 0 2 102 104 390 392 492 494 852 854 954 956 1242 1244 1344 1346
n=16, 5453610867389: 0 2 390 392 768 770 942 944 1158 1160 1332 1334 1710 1712 2100 2102
n=16, 5504211893861: 0 2 90 92 456 458 546 548 1170 1172 1260 1262 1626 1628 1716 1718
n=16, 5566377146219: 0 2 660 662 708 710 882 884 1368 1370 1542 1544 1590 1592 2250 2252
n=16, 5717202789509: 0 2 642 644 1020 1022 1038 1040 1662 1664 1680 1682 2058 2060 2700 2702
n=16, 5937782422049: 0 2 78 80 342 344 420 422 1800 1802 1878 1880 2142 2144 2220 2222
n=16, 6140682904247: 0 2 402 404 462 464 600 602 864 866 1002 1004 1062 1064 1464 1466
n=16, 6617913673199: 0 2 420 422 750 752 1062 1064 1170 1172 1482 1484 1812 1814 2232 2234
n=16, 6673507213727: 0 2 210 212 594 596 804 806 1770 1772 1980 1982 2364 2366 2574 2576
n=16, 6911697590027: 0 2 390 392 462 464 852 854 1092 1094 1482 1484 1554 1556 1944 1946
n=16, 7049632881407: 0 2 180 182 462 464 642 644 732 734 912 914 1194 1196 1374 1376
n=16, 7193980969757: 0 2 240 242 360 362 390 392 600 602 630 632 750 752 990 992
n=16, 7385149172561: 0 2 66 68 210 212 276 278 900 902 966 968 1110 1112 1176 1178
n=16, 7445072724839: 0 2 330 332 630 632 960 962 1680 1682 2010 2012 2310 2312 2640 2642
n=16, 7768588345079: 0 2 42 44 258 260 300 302 2550 2552 2592 2594 2808 2810 2850 2852
n=16, 7869131420069: 0 2 600 602 1482 1484 2082 2084 2208 2210 2808 2810 3690 3692 4290 4292
n=16, 8030366412191: 0 2 270 272 390 392 660 662 1680 1682 1950 1952 2070 2072 2340 2342
n=16, 8038534677989: 0 2 72 74 840 842 912 914 1188 1190 1260 1262 2028 2030 2100 2102
n=16, 8046216854339: 0 2 798 800 1290 1292 2088 2090 2340 2342 3138 3140 3630 3632 4428 4430
n=16, 8168098625549: 0 2 42 44 1428 1430 1470 1472 2640 2642 2682 2684 4068 4070 4110 4112
n=16, 8220732841247: 0 2 210 212 630 632 840 842 1044 1046 1254 1256 1674 1676 1884 1886
n=16, 8658672628631: 0 2 198 200 630 632 828 830 858 860 1056 1058 1488 1490 1686 1688
n=16, 9015300500201: 0 2 210 212 438 440 648 650 2088 2090 2298 2300 2526 2528 2736 2738
n=16, 9192927651431: 0 2 96 98 240 242 336 338 450 452 546 548 690 692 786 788
n=16, 9309046527437: 0 2 222 224 690 692 912 914 1230 1232 1452 1454 1920 1922 2142 2144
n=16, 9414045818039: 0 2 78 80 210 212 288 290 1140 1142 1218 1220 1350 1352 1428 1430
n=16, 9936158700959: 0 2 240 242 2040 2042 2280 2282 3120 3122 3360 3362 5160 5162 5400 5402
n=16, 9940299924491: 0 2 60 62 138 140 198 200 4758 4760 4818 4820 4896 4898 4956 4958
 

[Nataly-Mak]

Dmitriy40 в сообщении #1063287 писал(а):

Простые магические квадраты из последовательных чисел-близнецов (включая наименьший):

Используется синтаксис Text

2659609259: 0 2 108 110 150 152 240 242 390 392 480 482 522 524 630 632
0       110     524     630
480     392     242     150
632     240     390     2
152     522     108     482
S=1264/10638438300

PS. Во всех случаях между последовательными парами простых чисел-близнецов есть и одиночные простые числа, они игнорировались.

Это не минимальный квадрат из последовательных пар простых чисел-близнецов, между которыми есть другие простые числа. Минимальный обычный (не пандиагональный) магический квадрат 4-го порядка из таких наборов:
#1

137 +
0  14  102  134 
104  132  2  12 
92  60  56  42 
54  44  90  62 

S=798

Составлен из следующего набора 8 последовательных пар близнецов:

137: 0, 2, 12, 14, 42, 44, 54, 56, 60, 62, 90, 92, 102, 104, 132, 134

И далее ещё два следующих квадрата:

#2

27479 +
0  50  270  314 
312  272  48  2 
260  210  104  60 
62  102  212  258 

S=110550

Составлен из следующего набора 8 последовательных пар близнецов:

27479: 0, 2, 48, 50, 60, 62, 102, 104, 210, 212, 258, 260, 270, 272, 312, 314 

#3

87149 +
0  74  390  440 
392  438  2  72 
410  360  104  30 
102  32  408  362 

S=349500

Составлен из следующего набора 8 последовательных пар близнецов:

87149: 0, 2, 30, 32, 72, 74, 102, 104, 360, 362, 390, 392, 408, 410, 438, 440

[Nataly-Mak]

Значительно пополнена последовательность в OEIS

Center element of a 3 X 3 magic square composed of consecutive primes.
A166113

Вот они - два первых магических квадрата 3-го порядка из последовательных простых чисел (исторические!)



с сайта http://www.magic-squares.net/primesqr.htm#Minimum consecutive primes -3

Эти квадраты были опубликованы в 1988 г. Теперь таких квадратов известно уже 500 штук.
Последовательность ввёл maxal в октябре 2009 г. Она содержала всего 18 квадратов.
Я недавно добавила квадраты 19 - 27. И Dmitriy40 завершил дополнение.

500-ый квадрат составлен из следующего набора последовательных простых чисел:

6024340583477: 0, 12, 24, 30, 42, 54, 60, 72, 84

и выглядит он так:

6024340583477 +
72 0 54
24 42 60
30 84 12

S=24097362334034

-- Пн ноя 02, 2015 09:29:22 --

Не поняла, что нового в последовательности
Smallest prime in a 3 X 3 magic square formed from consecutive primes.
A256891
Последовательность введена в апреле текущего года, дублирует 8 первых квадратов последовательности A166113.
Почему уж тогда только 8 квадратов дублирует, а не все 18, которые были в последовательности A166113 в тот момент?

Наименьшее число в таких квадратах...
Тогда надо сделать ещё последовательность из наибольших чисел в этих квадратах