Проблема с преобразованием Фурье

[Goshik]

Всем добрый день. При попытке понять механизм работы преобразования Фурье возникла следующая проблема.

Известно, что преобразование Фурье от функции $\cos(t)$ представляет из себя следующее выражение:

$\frac{\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)}{2}.$

Из этого выражения видно, что при $\omega = 0$ оно обращается в ноль. Теперь вычислим значение преобразования Фурье, сразу подставив в него ноль вместо $\omega$:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(t)\cdot e^{-i\omega t}dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(t)\cdot e^{-i\cdot 0 \cdot t}dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(t)dt.$

В результате мы получили интеграл, который не сходится. В чем кроется причина данного несоответствия?

[arseniiv]

Хотя бы в том, что у обобщённых функций, например, нет значения в точке.

-- Ср сен 09, 2015 22:04:57 --

К тому же, стоило бы привести определение.

[Goshik]

Цитата:

у обобщённых функций, например, нет значения в точке

Не могли бы Вы пояснить суть данной фразы? На мой взгляд ничто не мешает найти значение дельта функции в какой-либо точке.

Цитата:

стоило бы привести определение

О каком определении идет речь?

[arseniiv]

Goshik в сообщении #1052024 писал(а):

На мой взгляд ничто не мешает найти значение дельта функции в какой-либо точке.

Предлагаю посмотреть определение обобщённой функции.

Goshik в сообщении #1052024 писал(а):

О каком определении идет речь?

Преобразования Фурье. Только точное, чтобы мы могли проверить, существует ли оно от косинуса и, если да, как его найти. (Понятно, что кое-какое существует. Но никто не обещал, что оно как-то связано с расходящимся интегралом выше.)

[Goshik]

Речь идет об этом определении?
$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx$

[arseniiv]

С чего-то надо начинать — давайте с него. Для каких $f$ такое преобразование Фурье определено?

[Goshik]

Из источников под рукой у меня только Википедия. Приведу цитату:

Цитата:

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса $L_1(\mathbb{R})$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье

[arseniiv]

А косинус, как думаете, принадлежит $L^1(\mathbb R)$? (Индекс в статье немного не тот, обычно он верхний.)

[Goshik]

Раз интеграл ее модуля уходит в бесконечность, то получается, что не принадлежит. Почему, в таком случае, преобразование Фурье от косинуса существует?

[Xaositect]

Потому что

Goshik в сообщении #1052053 писал(а):

преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций.

Но только в этом случае просто так подставить и получить значение в одной точке не получится, а у обобщенных функций вообще значений в точке нет.

[Brukvalub]

Вот еще вопросик: каково определение дельта-функции?

[Goshik]

Brukvalub в сообщении #1052078 писал(а):

Вот еще вопросик: каково определение дельта-функции?

Я понимаю ее как функцию, которой присущи свойства:
$\delta(x)=\left\{\begin{matrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matrix}\right$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1$
Наверно поэтому и не могу понять, почему у нее нет значения в точке.

[Hasek]

Goshik в сообщении #1052080 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1052078 писал(а):

Вот еще вопросик: каково определение дельта-функции?

Я понимаю ее как функцию, которой присущи свойства:
$\delta(x)=\left\{\begin{matrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matrix}\right$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1$
Наверно поэтому и не могу понять, почему у нее нет значения в точке.

Дельта-функция сопоставляет функционалу его значение в нуле: $\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$.

[oniksofers]

Goshik в сообщении #1052080 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1052078 писал(а):

Вот еще вопросик: каково определение дельта-функции?

Я понимаю ее как функцию, которой присущи свойства:
$\delta(x)=\left\{\begin{matrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matrix}\right$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1$
Наверно поэтому и не могу понять, почему у нее нет значения в точке.

По этому определению, можно сказать, что вам стоит ознакомиться с аппаратом обобщенных функций для более корректного понимания преобразования Фурье и прочих не менее интересных вещей.

[arseniiv]

(Про скобки.)

Угловые скобки лучше набрать как \langle … \rangle: $\langle\delta,\varphi\rangle = \varphi(0)$.