2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 13:17 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Я случайно обнаружил функции обладающие следующим свойством

$\begin{equation*}
f_{ij}(n) = 
 \begin{cases}
   1,\ i=n\\
   0,\ i \neq n
 \end{cases}
\end{equation*}$

где $i,n \in N,\ 0 \leq i \leq n $

Например

$f_{02}(n) =3^n-3 \cdot 2^n+3$
и
$f_{03}(n) =-4^n+4 \cdot 3^n-6 \cdot 2^n+4$

принимают значение $1$ при $n=0$ и значение $0$ при $n=1,2,3$, а

$f_{22}(n) =\frac{1}{2}\cdot 3^n-2^n+\frac{1}{2}$
и
$f_{23}(n) =-4^n+\frac{7}{2}\cdot 3^n-4\cdot 2^n+\frac{3}{2}$

принимают значение $1$ при $n=2$ и значение $0$ при $n=0,1,3$.

Пожалуйста, проверьте действительно ли их значения таковы при указанных аргументах.

Для каждого значения $n$ можно построить бесконечно много таких функций.
Раньше я с не встречался с ними. Пожалуйста, подскажите, что это такое и где применяется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Функций, обладающих свойством, которое Вы действительно написали (0 и 1 в определённых точках, ничего или неизвестно что во всех остальных точках, и ещё зависящих от индекса $j$, который на них никак не влияет) - их и вправду настолько много, что нет особого смысла даже начинать описывать. Есть варианты с экспонентами (опять же как у Вас), можно придумать с полиномами, с синусами, с битовыми функциями, с чем угодно. (Где-то и применяются, да.) Вы, наверное, имеете в виду какое-то определённое их подмножество. Какое, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 13:40 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
А почему $f_{02}(3)=6, f_{22}(3)=6.?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 15:49 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
mihiv в сообщении #1051549 писал(а):
А почему $f_{02}(3)=6, f_{22}(3)=6.?$

Совершенно верно. Это моя ошибка. Второй индекс указывает максимальное значение $n$.
ИСН в сообщении #1051548 писал(а):
Функций, обладающих свойством, которое Вы действительно написали (0 и 1 в определённых точках, ничего или неизвестно что во всех остальных точках, и ещё зависящих от индекса $j$, который на них никак не влияет)

Я написал другое: $1$ в единственной точке из интервала от $0$ до $n$, и $0$ во всех остальных, меньших либо равных $n$. Индекс $j$ определяет максимальное значение $n$.
Я обнаружил алгоритм построения именно таких функций. В отличие от символа Кронекера, значения этих функций не задаются вручную, а вычисляются. Мне интересно, можно ли это свойство полезно применить.
Например, если каждый элемент некоторого множества умножить на одну из таких функций, а потом вычислить их значения при заданном $n$, то выживут только соответствующие этому значению элементы, остальные занулятся. Причем, разным элементам множества можно придать различные функции выживающие при одном значении. Но нужно ли это? А если да - то где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Именно то, что Вы сейчас написали, делается в интерполяции.
Если у нас есть набор точек $x_1, \dots, x_n$ и набор функций $f_i$, которые в точке $x_i$ равны $1$, а в остальных - $0$, то функция $\sum y_i f_i$ имеет значения $y_i$ в точках $x_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 17:25 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Xaositect в сообщении #1051584 писал(а):
Именно то, что Вы сейчас написали, делается в интерполяции.

А какими функциями это реализуется технически?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Чаще всего полиномами $\dfrac{(x-x_1)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_1)\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 17:54 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 18:53 


12/07/15
2907
г. Чехов
serval писал(а):
Пожалуйста, подскажите, что это такое и где применяется?

Это что-типа формальных рядов. Применяется для применения методов анализа к тем функциям, к которым анализ напрямую неприменим. Например, исходную функцию невозможно проинтегрировать или продифференцировать, а формальный ряд (заменяющую функцию) - можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение08.09.2015, 20:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihaylo в сообщении #1051639 писал(а):
Например, исходную функцию невозможно проинтегрировать или продифференцировать, а формальный ряд (заменяющую функцию) - можно.
Тут либо ряд и функция одинаково дифференцируемы, либо просто не совпадают (например, ряд расходится — просто не с чем совпадать). Или я что-то новое в науке упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение09.09.2015, 05:47 


12/07/15
2907
г. Чехов
arseniiv писал(а):
Тут либо ряд и функция одинаково дифференцируемы, либо просто не совпадают (например, ряд расходится — просто не с чем совпадать). Или я что-то новое в науке упустил?

Ну здесь ряд не совпадает: при $n>j$ и еще при $n\notin N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение09.09.2015, 13:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Какой ряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение09.09.2015, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
arseniiv в сообщении #1051854 писал(а):
Какой ряд?

Лучше было спросить "где здесь / тут?", поскольку недоразумение возникло из-за неправильной локализации этого самого "здесь" :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Что за функции?
Сообщение09.09.2015, 18:16 


12/07/15
2907
г. Чехов

(Оффтоп)

:D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group