Что за функции?

[serval]

Я случайно обнаружил функции обладающие следующим свойством

$\begin{equation*} f_{ij}(n) = \begin{cases} 1,\ i=n\\ 0,\ i \neq n \end{cases} \end{equation*}$

где $i,n \in N,\ 0 \leq i \leq n $

Например

$f_{02}(n) =3^n-3 \cdot 2^n+3$
и
$f_{03}(n) =-4^n+4 \cdot 3^n-6 \cdot 2^n+4$

принимают значение $1$ при $n=0$ и значение $0$ при $n=1,2,3$, а

$f_{22}(n) =\frac{1}{2}\cdot 3^n-2^n+\frac{1}{2}$
и
$f_{23}(n) =-4^n+\frac{7}{2}\cdot 3^n-4\cdot 2^n+\frac{3}{2}$

принимают значение $1$ при $n=2$ и значение $0$ при $n=0,1,3$.

Пожалуйста, проверьте действительно ли их значения таковы при указанных аргументах.

Для каждого значения $n$ можно построить бесконечно много таких функций.
Раньше я с не встречался с ними. Пожалуйста, подскажите, что это такое и где применяется?

[ИСН]

Функций, обладающих свойством, которое Вы действительно написали (0 и 1 в определённых точках, ничего или неизвестно что во всех остальных точках, и ещё зависящих от индекса $j$, который на них никак не влияет) - их и вправду настолько много, что нет особого смысла даже начинать описывать. Есть варианты с экспонентами (опять же как у Вас), можно придумать с полиномами, с синусами, с битовыми функциями, с чем угодно. (Где-то и применяются, да.) Вы, наверное, имеете в виду какое-то определённое их подмножество. Какое, почему?

[mihiv]

А почему $f_{02}(3)=6, f_{22}(3)=6.?$

[serval]

mihiv в сообщении #1051549 писал(а):

А почему $f_{02}(3)=6, f_{22}(3)=6.?$

Совершенно верно. Это моя ошибка. Второй индекс указывает максимальное значение $n$.

ИСН в сообщении #1051548 писал(а):

Функций, обладающих свойством, которое Вы действительно написали (0 и 1 в определённых точках, ничего или неизвестно что во всех остальных точках, и ещё зависящих от индекса $j$, который на них никак не влияет)

Я написал другое: $1$ в единственной точке из интервала от $0$ до $n$, и $0$ во всех остальных, меньших либо равных $n$. Индекс $j$ определяет максимальное значение $n$.
Я обнаружил алгоритм построения именно таких функций. В отличие от символа Кронекера, значения этих функций не задаются вручную, а вычисляются. Мне интересно, можно ли это свойство полезно применить.
Например, если каждый элемент некоторого множества умножить на одну из таких функций, а потом вычислить их значения при заданном $n$, то выживут только соответствующие этому значению элементы, остальные занулятся. Причем, разным элементам множества можно придать различные функции выживающие при одном значении. Но нужно ли это? А если да - то где?

[Xaositect]

Именно то, что Вы сейчас написали, делается в интерполяции.
Если у нас есть набор точек $x_1, \dots, x_n$ и набор функций $f_i$, которые в точке $x_i$ равны $1$, а в остальных - $0$, то функция $\sum y_i f_i$ имеет значения $y_i$ в точках $x_i$.

[serval]

Xaositect в сообщении #1051584 писал(а):

Именно то, что Вы сейчас написали, делается в интерполяции.

А какими функциями это реализуется технически?

[Xaositect]

Чаще всего полиномами $\dfrac{(x-x_1)\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots (x-x_n)}{(x_i-x_1)\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}$

[serval]

Спасибо.

[Mihaylo]

serval писал(а):

Пожалуйста, подскажите, что это такое и где применяется?

Это что-типа формальных рядов. Применяется для применения методов анализа к тем функциям, к которым анализ напрямую неприменим. Например, исходную функцию невозможно проинтегрировать или продифференцировать, а формальный ряд (заменяющую функцию) - можно.

[arseniiv]

Mihaylo в сообщении #1051639 писал(а):

Например, исходную функцию невозможно проинтегрировать или продифференцировать, а формальный ряд (заменяющую функцию) - можно.

Тут либо ряд и функция одинаково дифференцируемы, либо просто не совпадают (например, ряд расходится — просто не с чем совпадать). Или я что-то новое в науке упустил?

[Mihaylo]

arseniiv писал(а):

Тут либо ряд и функция одинаково дифференцируемы, либо просто не совпадают (например, ряд расходится — просто не с чем совпадать). Или я что-то новое в науке упустил?

Ну здесь ряд не совпадает: при $n>j$ и еще при $n\notin N$.

[arseniiv]

Какой ряд?

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1051854 писал(а):

Какой ряд?

Лучше было спросить "где здесь / тут?", поскольку недоразумение возникло из-за неправильной локализации этого самого "здесь"

[Mihaylo]

(Оффтоп)