мера компакта в метрическом пространстве

[мат-ламер]

Elena2012 в сообщении #1050121 писал(а):

вот есть произвольное компактное множество в метрическом пространстве. всегда ли его мера конечна?

Тут два вопроса. 1) А измеримо ли множество? Примеры неизмеримых множеств неконструктивны. Что там насчёт компактности - непонятно. 2) Если множество измеримо, то конечна ли его мера? Вам должно помочь то, что в метрических пространствах компактность связана с вполне ограниченностью.

[Oleg Zubelevich]

мат-ламер в сообщении #1051384 писал(а):

1) А измеримо ли множество?

любое компактное множество измеримо по Борелю. А как каноническим образом строить меру, ограниченную на компактах см. монографию по ссылке

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #1051385 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1051384 писал(а):

1) А измеримо ли множество?

любое компактное множество измеримо по Борелю. А как каноническим образом строить меру, ограниченную на компактах см. монографию по ссылке

Не понял, при чем здесь построение какой-то канонической меры, если ТС ясно написала, что ее интересует конечность внешней меры ХАУСДОРФА у компактов в метрическом пространстве.
По теме: в книге Макаров, Голузина и др. "Избранные задачи по вещ. анализу" есть задача 5.24, которая дает отрицательный ответ на поставленный вопрос.

[Oleg Zubelevich]

Brukvalub в сообщении #1051401 писал(а):

Не понял, при чем здесь построение какой-то канонической меры

не какой-то ,а Лебеговой (ну типа лебеговой, чтоб быть совсем точным).

Brukvalub в сообщении #1051401 писал(а):

если ТС ясно написала, что ее интересует конечность внешней меры ХАУСДОРФА

я на стартовый пост отвечал, а дальше я не читал

[Elena2012]

Brukvalub в сообщении #1051401 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #1051385 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1051384 писал(а):

1) А измеримо ли множество?

любое компактное множество измеримо по Борелю. А как каноническим образом строить меру, ограниченную на компактах см. монографию по ссылке

Не понял, при чем здесь построение какой-то канонической меры, если ТС ясно написала, что ее интересует конечность внешней меры ХАУСДОРФА у компактов в метрическом пространстве.
По теме: в книге Макаров, Голузина и др. "Избранные задачи по вещ. анализу" есть задача 5.24, которая дает отрицательный ответ на поставленный вопрос.

спасибо за помощь, нашла книгу. вы имели ввиду эту задачу? (Пусть $A$ - множество из задачи 5.9
а) убедитесь что $A$-множество канторовского типа и найдите ее определяющую последовательность....
б) найдите хаус. размерность множества $A$
в) найдите предел...) (к сожалению,не смогла вставить фото станицы)

-- 08.09.2015, 07:58 --

и еще вот такой возникший вопросик: если хаусдорфова мера компакта конечна (п.в.), то при гомеоморфизме перейдет ли она в конечную п.в. меру образа компакта? то есть что происходит с мерой при отображении? есть такое свойство?

[Brukvalub]

Нет, не эту. В издании 2004 г. эта нужная задача расположена на стр. 164.

Elena2012 в сообщении #1051458 писал(а):

и еще вот такой возникший вопросик: если хаусдорфова мера компакта конечна (п.в.), то при гомеоморфизме перейдет ли она в конечную п.в. меру образа компакта? то есть что происходит с мерой при отображении? есть такое свойство?

Что здесь означают загадочные буквы (п.в.)?

[g______d]

Я вот чего не понял в формулировке. В определении меры Хаусдорфа есть как минимум одна буковка $d$. Какой перед ней стоит квантор?

[Elena2012]

Brukvalub в сообщении #1051463 писал(а):

Нет, не эту. В издании 2004 г. эта нужная задача расположена на стр. 164.

Elena2012 в сообщении #1051458 писал(а):

и еще вот такой возникший вопросик: если хаусдорфова мера компакта конечна (п.в.), то при гомеоморфизме перейдет ли она в конечную п.в. меру образа компакта? то есть что происходит с мерой при отображении? есть такое свойство?

Что здесь означают загадочные буквы (п.в.)?

почти всюду

-- 08.09.2015, 08:41 --

Elena2012 в сообщении #1051469 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1051463 писал(а):

Нет, не эту. В издании 2004 г. эта нужная задача расположена на стр. 164.

Elena2012 в сообщении #1051458 писал(а):

и еще вот такой возникший вопросик: если хаусдорфова мера компакта конечна (п.в.), то при гомеоморфизме перейдет ли она в конечную п.в. меру образа компакта? то есть что происходит с мерой при отображении? есть такое свойство?

Что здесь означают загадочные буквы (п.в.)?

почти всюду

(не могу найти эту книгу, может поделитесь ссылкой? )

[Brukvalub]

Расшифруйте это подробнее:

Elena2012 в сообщении #1051458 писал(а):

хаусдорфова мера компакта конечна (п.в.)

Есть компакт, у него есть мера Хаусдорфа, как она может быть чем-то там п.в.?
Вот как понять утверждение, что длина удава с аватарки Otta равна 8-ми попугаям ПОЧТИ ВСЮДУ?
Книга стоит у меня на нижней полке, третья слева в ряду книг, в Сети я электрокопии данного издания не находил.

[Oleg Zubelevich]

впрочем еще можно так

$$d(x,y)=\sum_ka_k\min\{|x_k-y_k|,1\},\quad \{a_k\}\in \ell^1,\quad a_k>0$$

[/math]

[g______d]

А нельзя просто взять компакт бесконечной хаусдорфовой размерности?

[Oleg Zubelevich]

а то что у взятого компактта бесконечная размерность доказывать будем?

[g______d]

Гильбертов кирпич. У него есть подпространства сколь угодно большой размерности, поэтому у него самого бесконечность.

[Oleg Zubelevich]

а мне почему-то кажется, что гильбертов кирпич вкладывается в компакт $K$

[g______d]

Не понял. Кирпич сам компактен в метрике $L^2$. И при этом у него есть метрические подпространства, изометричные параллелепипедам сколь угодно большой размерности.