Электростатика

[TripleLucker]

Munin в сообщении #1051087 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1051083 писал(а):

Так через формулу потенциала же и решали. Просто потом использовали вот что : ${E_r} = - \frac{{\partial \phi }}{{\partial r}}$.

Шо??? Так же нельзя!

TripleLucker в сообщении #1051083 писал(а):

А еще после этого через такой же интеграл, как для потенциала, только более громоздкий (для напряженности подобная формула).

Это да, это можно.

TripleLucker в сообщении #1051083 писал(а):

А насчет ответа : правда, вот :

Ну так вон же там стоят $R$ и $r_0.$ Вы их не видите?

Я вижу, у меня вот что $\[{r^2}E = \frac{{4\pi k(R - {r_0})}}{{R{r_0}}};E = \frac{{4\pi k(R - {r_0})}}{{R{r_0}{r^2}}}\]$. Лишние буквы :/.

[Ms-dos4]

TripleLucker
Да нет их там, якобиан то $\[{r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi \]$, поэтому

$$\[Q = \int\limits_V {\rho dV} = \int\limits_{{r_0}}^R {dr\int\limits_0^\pi {d\theta \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi {r^2}\sin \theta \frac{k}{{{r^2}}}dr} } } = 4\pi \int\limits_{{r_0}}^R {kdr} \]$$

так что это я в том сообщении невнимательно записал всё.

[TripleLucker]

Ms-dos4 в сообщении #1051091 писал(а):

TripleLucker
Да нет их там, якобиан то $\[{r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi \]$, поэтому

$$\[Q = \int\limits_V {\rho dV} = \int\limits_{{r_0}}^R {dr\int\limits_0^\pi {d\theta \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi {r^2}\sin \theta \frac{k}{{{r^2}}}dr} } } = 4\pi \int\limits_{{r_0}}^R {kdr} \]$$

так что это я в том сообщении невнимательно записал всё.

А я невнимательно переписываю :(. Простите, спасибо за помощь.

-- 07.09.2015, 02:33 --

Думал, что все понял, а оказывается, что нет. Первую часть ответа получил, как третья из второй выходит - понятно. А как из второй напряженности получить потенциал - вообще ума не приложу, нужно по каким-то пределам проинтегрировать ее?

[Viktor92]

Кажется тут вот в чём фишка, за нулевой уровень потенциала вне шара, найденного из сответсвующей напряжённости, принята бесконечность, а при интегрировании второй напряжённости в пределах $R$ до $r_0$ мы получаем потенциал с нулевым уровнем на поверхности шара, и теперь чтобы у нас все потенциалы имели нулевой уровень на бесконечности, надо после интегрирования по вышеуказанным пределам к полученному выражению прибавить ещё потенциал на поверхности шара, найденный из "первого" потенциала подстановкой вместо $r$ - $R$ и тогда получается ваш ответ.

[TripleLucker]

Viktor92 в сообщении #1051127 писал(а):

Кажется тут вот в чём фишка, за нулевой уровень потенциала вне шара, найденного из сответсвующей напряжённости, принята бесконечность, а при интегрировании второй напряжённости в пределах $R$ до $r_0$ мы получаем потенциал с нулевым уровнем на поверхности шара, и теперь чтобы у нас все потенциалы имели нулевой уровень на бесконечности, надо после интегрирования по вышеуказанным пределам к полученному выражению прибавить ещё потенциал на поверхности шара, найденный из "первого" потенциала подстановкой вместо $r$ - $R$ и тогда получается ваш ответ.

А если проинтегрировать в пределах $R$ до $r_0$, то логарифм получится без $r$, уже не совпадает :/.

[Sicker]

Viktor92
TripleLucker
Надо еще не забыть, что градиент потенциала это поле с противоположным знаком.
Интегрируйте модуль вашей напряженности от $R$ до бесконечности, и выберете константу интегрирования такую, чтобы потенциал на бесконечности был ноль. Потом интегрируйте от $r_0$ до $R$, и опять же выберете константу интегрирования такую, чтобы потенциал в $R$ равен был "первому" потенциалу. И сшейте полученные решения.

[TripleLucker]

Sicker в сообщении #1051151 писал(а):

Viktor92
TripleLucker
Надо еще не забыть, что градиент потенциала это поле с противоположным знаком.
Интегрируйте модуль вашей напряженности от $R$ до бесконечности, и выберете константу интегрирования такую, чтобы потенциал на бесконечности был ноль. Потом интегрируйте от $r_0$ до $R$, и опять же выберете константу интегрирования такую, чтобы потенциал в $R$ равен был "первому" потенциалу. И сшейте полученные решения.

Так при интегрировании с такими пределами $r$ пропадает и уже нечего подставлять, и константу не выбрать, чтобы ответ нужный вышел. Как именно так интегрировать все-таки?

[Sicker]

TripleLucker в сообщении #1051218 писал(а):

Так при интегрировании с такими пределами $r$ пропадает и уже нечего подставлять, и константу не выбрать, чтобы ответ нужный вышел. Как именно так интегрировать все-таки?

Ой, там надо неопределенный интеграл брать.
Потом подобрать константу так, чтобы на бесконечности он обращался в ноль, а константу во втором, "внутреннем" интеграле так, чтобы у обоих функций совпадали значения в $r=R$

[DimaM]

Sicker в сообщении #1051151 писал(а):

Интегрируйте модуль вашей напряженности от $R$ до бесконечности, и выберете константу интегрирования такую, чтобы потенциал на бесконечности был ноль.

Как-то излишне сложно. Потенциал снаружи - как от точечного заряда, можно не интегрировать.

Sicker в сообщении #1051151 писал(а):

Потом интегрируйте от $r_0$ до $R$, и опять же выберете константу интегрирования такую, чтобы потенциал в $R$ равен был "первому" потенциалу.

Надо, думается до $r$ интегрировать, чтоб в любом месте потенциал получить. Ну и интеграл писать определенный.

[Sicker]

DimaM в сообщении #1051223 писал(а):

Надо, думается до $r$ интегрировать, чтоб в любом месте потенциал получить. Ну и интеграл писать определенный.

Можно взять неопределенный, а константу определить из условия непрерывности интеграла.

[Munin]

Sicker
Зверь.

[DimaM]

Sicker в сообщении #1051226 писал(а):

Можно взять неопределенный, а константу определить из условия непрерывности интеграла.

С определенным куда как проще для понимания.

[Viktor92]

TripleLucker в сообщении #1051218 писал(а):

Так при интегрировании с такими пределами $r$ пропадает и уже нечего подставлять, и константу не выбрать, чтобы ответ нужный вышел. Как именно так интегрировать все-таки?

Извиняюсь, там вместо $r_0$ конечно же $r$, для которого $R>r>r_0$ и не забываем

Sicker в сообщении #1051151 писал(а):

Надо еще не забыть, что градиент потенциала это поле с противоположным знаком.

И тогда всё получается.

[TripleLucker]

Так от $r_0$ до $r$ интегрировать или от $r$ до $R$? ._. На самом деле оба варианта обречены на провал, т.к. ответ не совпадает. Но я не понимаю это с физической точки зрения, поэтому и рассуждать не могу. Например, вот : (пусть $l$ - какая-то фиктивная переменная) $\[\int\limits_{{r_0}}^r {\frac{{4\pi k(l - {r_0})}}{{{l^2}}}} dl = \int\limits_{{r_0}}^r {\frac{{4\pi k}}{l}} dl - \int\limits_{{r_0}}^r {\frac{{4\pi k{r_0}}}{{{l^2}}}} dl = 4\pi k\ln \frac{r}{{{r_0}}} - 4\pi k + \frac{{4\pi kr_0}}{{{r}}}\]$

Если взять это дело с минусом, как положено, то вторая часть ответа совпадает, а первая (с логарифмом) - нет. Если же взять другие пределы интегрирования, то совпадает первая часть (с логарифмом, хотя там даже знак не тот), а вторая не совпадает, т.к. там $R$ вообще отсутствует.

Говорили про какую-то константу интегрирования. Но интеграл определенный, поэтому откуда ее можно взять?

[Munin]

Вы сначала разберитесь, что у вас этот интеграл выражает: $E$ или $\varphi.$