2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение метрических пространств (Хелемский)
Сообщение06.09.2015, 02:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Доказать, что произведение семейства метрических пространств $\{M_v | v \in \Lambda\}$, содержащих каждое более, чем по одной точке, существует тогда и только тогда, когда оно (семейство) не более чем счётно. (Произведение понимается в смысле категории метрических пространств, где морфизмы — непрерывные отображения). Сперва хочу доказать хотя бы в одну сторону (не более чем счётное $\rightarrow$ имеет произведение). В качестве попыток решения: в указаниях написано, что за такое пространство надо брать декартово произведение с метрикой $d(x,y) = \sum_{i} \frac{d(x_i,y_i)}{2^i (d (x_i,y_i) + 1)}$, из этого ясно, что если требуемая в определении произведения стрелка существует, то она единственная (можно долбануть забывающим функтором и получить просто произведение в категории $Set$). То есть нужно доказать только то, что такая стрелка существует. Что эквивалентно доказательству того, что требуемое отображение, строящееся естественным образом — непрерывно. А это эквивалентно тому, что пространство с заданной метрикой порождает ровно такую топологию, как если бы мы перемножали $\{M_v | v \in \Lambda\}$ как топологические пространства (т.е. — тихоновскую). Но далее ступор и не могу раскрутить уже третий день. Хотелось бы подсказку, спасибо!
Задача из Хелемский «Лекции по функциональному анализу», с.64, глава 0, парарграф 6, упражнение 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение метрических пространств (Хелемский)
Сообщение06.09.2015, 07:25 


10/02/11
6786
если я правильно понял, то по модулю всего этого категорного пижонства, задача состоит в том что бы доказать: тихоновское произведение метрических пространств (в которых более чем по одной точке) является метрическим пространством тогда и тоько тогда, когда сомножителей не более чем счетное число.
В одну сторону вы вроде уже доказали, предъявив метрику. Еще надо доказывать, что эта метрика задает тихоновскую топологию, но это тривиально. В другую сторону, видимо, там первая аксиома счетности должна нарушаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение метрических пространств (Хелемский)
Сообщение06.09.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Oleg Zubelevich в сообщении #1050831 писал(а):
Еще надо доказывать, что эта метрика задает тихоновскую топологию, но это тривиально.

Для меня нетривиально. В конкретных случаях, например, в пространстве $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, можно это проверить достаточно легко, но как быть в общем — непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение метрических пространств (Хелемский)
Сообщение06.09.2015, 14:52 


10/02/11
6786
а, теперь я вижу что у Вас там непонятно, что написано
Пусть $(M_k,d_k),\quad k\in \mathbb{N}$ -- счетное семейство метрических пространств тогда

тогда тихоновская топология в $\prod_k M_k$ может быть задана метрикой:
$$d(x,y)=\sum_k\frac{\min\{d_k(x_k,y_k),1\}}{k^2},\quad x=\{x_k\},\quad y=\{y_k\},\quad x_k,y_k\in M_k$$
доказывайте по определению через сходимость направленностей

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение метрических пространств (Хелемский)
Сообщение06.09.2015, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Тихоновская топология — это грубейшая топология на $\prod_k\{X_k\}$, такая, что из сходимости по направленности следует покоординатная сходимость по ней же (или, иначе, из $x_\lambda \to a$ следует $x_\lambda^i \to a^i$, где $\lambda$ — некоторая направленность, а $i$ — координата), легко видеть, что у данной метрики покоординатная сходимость эквивалентна просто сходимости, из чего всё должно следовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение метрических пространств (Хелемский)
Сообщение06.09.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Имеет произведение $\rightarrow$ не более чем счётное.
Пусть $(M,d) = \prod_{v \in \Lambda} (M_v, d_v) $ где $|\Lambda| > \aleph_0$, пусть $\varepsilon_0$ наименьший несчётный ординал. Занумеруем как-нибудь элементами из $\varepsilon_0$ какие-нибудь пространства из $\{(M_v,d_v) | v \in \Lambda\}$, пусть $x_v, y_v \in M_v$ — две различные точки пространства $M_v$. Определим точку $a_v = (y_1,y_2,y_3,...,y_{v-1}, y_v, x_{v+1},x_{v+2}, ...)$ где $v \in \varepsilon_0$ (я допустил некоторую вольность речи $y_{v-1}$ естественно, может и не существовать, если $v$ предельный ординал), получаем направленность $a_v \to a_{\varepsilon_0}$. Возьмём последовательность:
$a_{v_1} : x>v_1 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < 1$
$a_{v_2} : x>v_2 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < \frac{1}{2}$
$a_{v_3} : x>v_3 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < \frac{1}{3}$
$a_{v_4} : x>v_4 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < \frac{1}{4}$
$...$
Пусть $\beta = \sup{\{v_1,v_2,v_3,v_4,...\}}$, тогда очевидно, что $a_\beta = \lim_{n \to \infty} a_{v_n} = \lim_{v \in \varepsilon_0} a_v = a_{\varepsilon_0}$, очевидно, что $\beta < \varepsilon_0$ (предел последовательности счётных ординалов — счётный ординал), в частности, $a_\beta \neq a_{\varepsilon_0}$, получаем противоречие.

-- 06.09.2015, 19:28 --

Если кто проверит — напишите верно или нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group