Произведение метрических пространств (Хелемский)

[kp9r4d]

Доказать, что произведение семейства метрических пространств $\{M_v | v \in \Lambda\}$, содержащих каждое более, чем по одной точке, существует тогда и только тогда, когда оно (семейство) не более чем счётно. (Произведение понимается в смысле категории метрических пространств, где морфизмы — непрерывные отображения). Сперва хочу доказать хотя бы в одну сторону (не более чем счётное $\rightarrow$ имеет произведение). В качестве попыток решения: в указаниях написано, что за такое пространство надо брать декартово произведение с метрикой $d(x,y) = \sum_{i} \frac{d(x_i,y_i)}{2^i (d (x_i,y_i) + 1)}$, из этого ясно, что если требуемая в определении произведения стрелка существует, то она единственная (можно долбануть забывающим функтором и получить просто произведение в категории $Set$). То есть нужно доказать только то, что такая стрелка существует. Что эквивалентно доказательству того, что требуемое отображение, строящееся естественным образом — непрерывно. А это эквивалентно тому, что пространство с заданной метрикой порождает ровно такую топологию, как если бы мы перемножали $\{M_v | v \in \Lambda\}$ как топологические пространства (т.е. — тихоновскую). Но далее ступор и не могу раскрутить уже третий день. Хотелось бы подсказку, спасибо!
Задача из Хелемский «Лекции по функциональному анализу», с.64, глава 0, парарграф 6, упражнение 7.

[Oleg Zubelevich]

если я правильно понял, то по модулю всего этого категорного пижонства, задача состоит в том что бы доказать: тихоновское произведение метрических пространств (в которых более чем по одной точке) является метрическим пространством тогда и тоько тогда, когда сомножителей не более чем счетное число.
В одну сторону вы вроде уже доказали, предъявив метрику. Еще надо доказывать, что эта метрика задает тихоновскую топологию, но это тривиально. В другую сторону, видимо, там первая аксиома счетности должна нарушаться.

[kp9r4d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1050831 писал(а):

Еще надо доказывать, что эта метрика задает тихоновскую топологию, но это тривиально.

Для меня нетривиально. В конкретных случаях, например, в пространстве $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, можно это проверить достаточно легко, но как быть в общем — непонятно.

[Oleg Zubelevich]

а, теперь я вижу что у Вас там непонятно, что написано
Пусть $(M_k,d_k),\quad k\in \mathbb{N}$ -- счетное семейство метрических пространств тогда

тогда тихоновская топология в $\prod_k M_k$ может быть задана метрикой:

$$d(x,y)=\sum_k\frac{\min\{d_k(x_k,y_k),1\}}{k^2},\quad x=\{x_k\},\quad y=\{y_k\},\quad x_k,y_k\in M_k$$

доказывайте по определению через сходимость направленностей

[kp9r4d]

Тихоновская топология — это грубейшая топология на $\prod_k\{X_k\}$, такая, что из сходимости по направленности следует покоординатная сходимость по ней же (или, иначе, из $x_\lambda \to a$ следует $x_\lambda^i \to a^i$, где $\lambda$ — некоторая направленность, а $i$ — координата), легко видеть, что у данной метрики покоординатная сходимость эквивалентна просто сходимости, из чего всё должно следовать.

[kp9r4d]

Имеет произведение $\rightarrow$ не более чем счётное.
Пусть $(M,d) = \prod_{v \in \Lambda} (M_v, d_v) $ где $|\Lambda| > \aleph_0$, пусть $\varepsilon_0$ наименьший несчётный ординал. Занумеруем как-нибудь элементами из $\varepsilon_0$ какие-нибудь пространства из $\{(M_v,d_v) | v \in \Lambda\}$, пусть $x_v, y_v \in M_v$ — две различные точки пространства $M_v$. Определим точку $a_v = (y_1,y_2,y_3,...,y_{v-1}, y_v, x_{v+1},x_{v+2}, ...)$ где $v \in \varepsilon_0$ (я допустил некоторую вольность речи $y_{v-1}$ естественно, может и не существовать, если $v$ предельный ординал), получаем направленность $a_v \to a_{\varepsilon_0}$. Возьмём последовательность:
$a_{v_1} : x>v_1 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < 1$
$a_{v_2} : x>v_2 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < \frac{1}{2}$
$a_{v_3} : x>v_3 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < \frac{1}{3}$
$a_{v_4} : x>v_4 \to d(a_{x},a_{\varepsilon_0}) < \frac{1}{4}$
$...$
Пусть $\beta = \sup{\{v_1,v_2,v_3,v_4,...\}}$, тогда очевидно, что $a_\beta = \lim_{n \to \infty} a_{v_n} = \lim_{v \in \varepsilon_0} a_v = a_{\varepsilon_0}$, очевидно, что $\beta < \varepsilon_0$ (предел последовательности счётных ординалов — счётный ординал), в частности, $a_\beta \neq a_{\varepsilon_0}$, получаем противоречие.

-- 06.09.2015, 19:28 --

Если кто проверит — напишите верно или нет.