Энергия гравитационного поля.

[Munin]

Тогда я соврамши. Извините.

[SergeyGubanov]

Sicker в сообщении #1050925 писал(а):

Munin в сообщении #1050875 писал(а):

Можно, при этом равенство $T^{\mu\nu}=\rho u^\mu u^\nu$ нарушается, вспомните, как оно выводится вообще.

Там через варьировании по метрическому тензору лагранжевой плотности...

На сколько мне известно, выражение $T^{\mu\nu} = \rho \, u^\mu u^\nu$ ни из какого Лагранжиана не выводится. Дело в том, что идеальная пыль не обладает собственной динамикой, у неё просто нет динамических полевых переменных, а значит и нет своего Лагранжиана. Соответственно и уравнения движения пылевидной материи:

$$\nabla_{\mu} \left( \rho u^{\mu} \right) = 0, \eqno(1)$$

$$u^{\mu} \nabla_{\mu} u^{\nu} = 0. \eqno(2)$$

тоже не являются Лагранжевыми.

Вот у идеального газа или идеальной жидкости Лагранжиан есть - это давление $p$. У идеальной пыли давление в точности равно нулю - Лагранжиана нет.

[Xugin]

SergeyGubanov в сообщении #1051284 писал(а):

идеальная пыль не обладает собственной динамикой

А если зарядить ионизирующим излучением?

[Sicker]

Munin
SergeyGubanov
А если рассмотреть не движение по геодезическим, а минимальность функционала от лагранжевой плотности материи?
Оно тоже автоматом получается из варьирования по метрическому тензору?(как в случае с сохранением заряда в электродинамике)

[SergeyGubanov]

Xugin в сообщении #1051358 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1051284 писал(а):

идеальная пыль не обладает собственной динамикой

А если зарядить ионизирующим излучением?

Будет электрически заряженная пыль, а не идеальная.

Sicker в сообщении #1051678 писал(а):

А если рассмотреть не движение по геодезическим, а минимальность функционала от лагранжевой плотности материи? Оно тоже автоматом получается из варьирования по метрическому тензору?(как в случае с сохранением заряда в электродинамике)

О какой конкретно материи речь? Если об идеальной пыли, то у неё нет Лагранжевой плотности ($p=0$). Если речь о какой-то другой материи, то её уравнения движения получаются варьированием Лагранжиана по её полевым переменным.

[Sicker]

SergeyGubanov в сообщении #1051863 писал(а):

Если речь о какой-то другой материи, то её уравнения движения получаются варьированием Лагранжиана по её полевым переменным.

А если не варьировать по ее полевым переменным? А варьировать только по метрическому тензору.

-- 09.09.2015, 17:40 --

Те верни ли, что из закона сохранения тензора энергии-импульса, следующего из уравнений Эйнштейна, следует экстремальность действия материи?

[Munin]

Возьмите ТЭИ электромагнитного поля.

-- 09.09.2015 17:50:21 --

Sicker
И вообще, когда вы возьмёте экспоненту от матрицы $2\times 2$? Хватит позориться.

[Oleg Zubelevich]

я возьму экспоненту от двумерной матрицы

$$e^A=aA+bE$$

а чему равны числа $a,b$ не скажу

[Sicker]

Чего-то я запутался, а канонический тензор энергии-импульса, выражающийся через производные от полевых переменных материи, и метрический тензор энергии-импульса(через производные от метрики) это одно и тоже или нет?

[SergeyGubanov]

Sicker в сообщении #1051965 писал(а):

Те верни ли, что из закона сохранения тензора энергии-импульса, следующего из уравнений Эйнштейна, следует экстремальность действия материи?

Уравнения Эйнштейна тут не при чём, этим свойством (по построению) обладает тензор энергии импульса в какой угодно общековариантной метрической теории гравитации.

Пусть $S$ произвольный общековариантный функционал зависящий от $g_{\mu \nu}(x)$, тогда существует тождество:

$$\nabla_{\mu} \left( \frac{\delta S}{\delta g_{\mu \nu}} \right) = 0. \eqno(1)$$

Это следует из общековариантности $S$, то есть независимости $S$ от выбора системы координат:

$$\delta_{\xi} S = 0. \eqno(2)$$

При инфинитезимальных преобразованиях координат имеем:

$$\delta_{\xi} x^{\mu} = \xi^{\mu}, \eqno(3)$$

$$\delta_{\xi} g_{\mu \nu} = - \nabla_{\mu} \xi_{\nu} - \nabla_{\nu} \xi_{\mu}. \eqno(4)$$

Комбинируя (2), (3) и (4) получаем (1).

Экстремальность действия (материи) отсюда никак не следует.

[Sicker]

SergeyGubanov
А почему в случае пылевидной материи следует?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1051976 писал(а):

я возьму экспоненту от двумерной матрицы

Спасибо, кэп!

[SergeyGubanov]

Sicker в сообщении #1051998 писал(а):

А почему в случае пылевидной материи следует?

Если у идеальной пыли нет действия, то как можно говорить об его экстремальности?

Для идеальной пыли у нас есть парочка уравнений: одно скалярное $\nabla_{\mu} \left( \rho \, u^{\mu} \right) = 0$ и одно векторное $u^{\mu} \nabla_{\mu} u^{\nu} = 0$, которые представляются нам истинными, но в то же время они не являются Лагранжевыми, то есть они не доставляют экстремум какому-либо интегралу (действию).

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1052229 писал(а):

Если у идеальной пыли нет действия, то как можно говорить об его экстремальности?

И какие последствия это может иметь для задач с идеальной пылью?

[Утундрий]

Да практически никаких. Ведь правая часть УЭ это всегда какая-то феноменология.