Найдите все матрицы 2-го порядка

[Elliot]

Найдите все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.

Знаю, что
$\alpha1$ $\math= $

$$\begin{pmatrix}0 1 \\0 0 \\ \end{pmatrix}$$

даст в квадрате нулевую.
Также
$\alpha2$ $\math= $

$$\begin{pmatrix}0 0 \\1 0 \\ \end{pmatrix}$$

при возведении в квадрат даст нулевую матрицу. То есть получается, что одна единица может стоять только на побочной диагонали.

Но как это все в общем виде представить, что делать дальше, ума не приложу.

[provincialka]

Матрица второго порядка определяется всего лишь 4 переменными. Можно просто составить систему из 4 уравнений.

[Elliot]

Эти четыре?
$a^2$$+bc=0$

$b(a+b)=0$

$c(a+d)=0$

$d^2$$+bc=0$

[Someone]

Непонятно, что такое $a,b,c,d$.

[Munin]

Скорей всего, $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right).$ Но второе уравнение написано с опечаткой.

[Elliot]

Верно,

$$\begin{pmatrix} a b \\ c d \\\end{pmatrix}$$

Исправляю опечатку во втором уравнении:
$b(a+d)=0$

[мат-ламер]

Elliot в сообщении #1050645 писал(а):

Но как это все в общем виде представить, что делать дальше, ума не приложу.

И как эта матрица (первая из двух) (точнее оператор, соотв. матрице) будет выглядеть в произвольном базисе? (Слева и справа на что-то умножить надо). Достаточно разобраться только с этой матрицей, поскольку это единственная нетривиальная жорданова клетка с нулевым квадратом.

[Munin]

Elliot в сообщении #1050665 писал(а):

Верно,

$$\begin{pmatrix} a b \\ c d \\\end{pmatrix}$$

Нет, неверно. То, что вы написали, - это вектор-столбец, элементы которого - произведения $ab$ и $cd.$ А чтобы набрать матрицу, надо поставить между элементами в одной строчке символ & :

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}.$$

[Elliot]

Цитата:

И как эта матрица (первая из двух) (точнее оператор, соотв. матрице) будет выглядеть в произвольном базисе? (Слева и справа на что-то умножить надо). Достаточно разобраться только с этой матрицей, поскольку это единственная нетривиальная жорданова клетка с нулевым квадратом.

К сожалению, после первого занятия линейной алгеброй не имею представления ни о жордановой клетке, ни даже об операторе, соответствующем матрице. Почитал сейчас информацию, но мало что понял.
Без этих знаний задача нерешаема?

[Munin]

Кстати, красиво. Получается конус.

-- 05.09.2015 16:37:39 --

Elliot в сообщении #1050673 писал(а):

Без этих знаний задача нерешаема?

Решаема. Уж системы уравнений-то вы в школе решали?

[Nemiroff]

Elliot в сообщении #1050658 писал(а):

$a^2+bc=0$

$b(a+d)=0$

$c(a+d)=0$

$d^2+bc=0$

Вот уравнения. Решайте. Проще начать с рассмотрения случаев для второго и третьего уравнений.

Elliot в сообщении #1050673 писал(а):

не имею представления ни о жордановой клетке, ни даже об операторе, соответствующем матрице

Забудьте.