Задачка электродинамики в неинерциальной системе координат.

[specialist]

Здравствуйте, объясните как решать факультативную задачку из курса электродинамики:
В неподвижном пространстве заданы напряженности электромагнитного поля $\mathbf E$ и $\mathbf H$, также имеется вращающийся цилиндр радиусом $r$, высотой $h$, массой $m$, законом вращения $\varphi=f(t)$. Необходимо найти функциональную зависимость напряженностей $\mathbf E'$ и $\mathbf H'$ в системе координат вращающегося цилиндра от $\mathbf E$ и $\mathbf H$ внешнего поля.
Все бы ничего если бы не произвольный закон вращения, СТО уже не катит, а как применить ОТО я не знаю, точнее знаю ковариантную формулировку законов Максвелла, она должна быть справедлива и в неподвижной и во вращающейся системе координат.
Попробую разбить задачку на этапы:
1) выбор лабораторной системы координат: ну тут ясно цилиндрическая
2) выбор вращающейся системы координат: тоже цилиндрические, но...
3) нахождение преобразования координат: вот тут самое непонятное, как из ОТО выковорить это преобразование, хотя бы в неявной форме, хорошо бы понять как это правильно делается и без особых извращений.
4) записываем уравнения Максвелла для неподвижной системы координат и в место дифференциалов впихиваем преобразование полученное в предыдущем пункте
5) так как скорее всего предыдущее выражение получится в неявной форме - его записываем в результат.

И так как я понимаю, я не понимаю как поучить преобразование цилиндрических неподвижных к цилиндрическим вращающимся координатам из ОТО, тут прошу поподробнее, очень интересная тема, очень охота самому доковыряться, но сроки поджимают. (хотя бы намекните как найти необходимые 4 уравнения? ладно инвариант интервала раз, а что еще?)

[Sicker]

Если вращение гораздо медленнее скорости света, то просто можно использовать Галилея и преобразование ускорений

-- 03.09.2015, 16:51 --

specialist в сообщении #1050174 писал(а):

Все бы ничего если бы не произвольный закон вращения, СТО уже не катит

СТО не катит и при постоянном

[Munin]

СТО-то катит. Надо только её правильно применять.

Действуете таким образом:
1. Находите мгновенную скорость заданной точки цилиндра в заданный момент времени.
2. Находите $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ в этой же точке пространства в этот же момент времени.
3. Преобразуете по Лоренцу для скорости из п. 1. Это и будут значения $\mathbf{E}'$ и $\mathbf{H}',$ которые измерит прибор, прикреплённый к цилиндру в указанной точке, в указанный момент времени. В качестве ориентации пространственных осей надо взять оси, привязанные к цилиндру.

Разумеется, эти $\mathbf{E}'$ и $\mathbf{H}'$ уже нифига не будут удовлетворять уравнениям Максвелла.

ОТО пользоваться остро не рекомендуется - запутаетесь.

Непонятно, зачем дана масса цилиндра. Вы хотите нам подсунуть часть какой-то другой задачи?

[specialist]

Munin в сообщении #1050190 писал(а):

СТО-то катит. Надо только её правильно применять.

Действуете таким образом:
1. Находите мгновенную скорость заданной точки цилиндра в заданный момент времени.
2. Находите $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ в этой же точке пространства в этот же момент времени.
3. Преобразуете по Лоренцу для скорости из п. 1. Это и будут значения $\mathbf{E}'$ и $\mathbf{H}',$ которые измерит прибор, прикреплённый к цилиндру в указанной точке, в указанный момент времени. В качестве ориентации пространственных осей надо взять оси, привязанные к цилиндру.

Такое решение мне известно, оно успешно применено в книжке "Э.А. Меерович Б.Э. Мейерович Методы релятивистской электродинамики в электротехнике и электрофизике", но как только я списал подобное решение, и пришел к физику, он посмотрел, и сказал: "скорость вращения не постоянная - система отсчета неинерциальная, сто некатит, ищи дальше" и я ищу дальше

-- 03.09.2015, 18:19 --

я так понимаю мне надо найти преобразование, аналогичное преобразованиям Лоренца, сижу во всю читаю А.Т. Фоменко Современную геометрию.

[Munin]

specialist в сообщении #1050193 писал(а):

но как только я списал подобное решение, и пришел к физику, он посмотрел, и сказал: "скорость вращения не постоянная - система отсчета неинерциальная, сто некатит, ищи дальше" и я ищу дальше

Локальная мгновенная система отсчёта - продолжает быть инерциальной.

Непонятно, чего от вас хочет "физик". Если изучения ОТО - то это, мягко говоря, занятие минимум на семестр, а то и на два.

specialist в сообщении #1050193 писал(а):

я так понимаю мне надо найти преобразование, аналогичное преобразованиям Лоренца, сижу во всю читаю А.Т. Фоменко Современную геометрию.

Бессмысленно.

[мат-ламер]

specialist в сообщении #1050174 писал(а):

в системе координат вращающегося цилиндра

Что это за система координат? Начало координат где находится? На оси цилиндра или на его поверхности? Возможно расчёты удобнее вести в терминах тензора эл-м. поля, который является 4-ротором 4-потенциала. Попробовать расписать преобразование от одной системы координат в другую. И посмотреть, как сей ротор будет выглядеть в новой системе координат. Но если что, то я не физик. Меня меньше слушайте. Больше слушайте Muninа. Мне просто задача понравилась. Сам попробую повозиться. Прошу тапками не закидывать.

-- Чт сен 03, 2015 21:09:42 --

specialist в сообщении #1050193 писал(а):

сижу во всю читаю А.Т. Фоменко Современную геометрию.

Заодно и второй том Ландау-Лифшица (если ещё нет).

[specialist]

Munin в сообщении #1050204 писал(а):

Бессмысленно.

кстати, забавно но в Лайтмане Прессе даже близко похожей задачки нету, че только есть, а нужного нету.
Не знаю почему физик не подсказывает, а не физик подсказывает, но начинает проясняться:
И так задачка с двумя метриками: первая - метрика стоячего наблюдателя - видимо метрика минковского
Вторая метрика вращающегося наблюдателя.
Известно что компоненты метрического тензора преобразуются как ${\bar g}_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial \bar x^i}\frac{\partial x^\ell}{\partial \bar x^j}g_{k\ell}$
Причем вектора преобразуются: $\bar a^i=\frac{\partial \bar x^i}{\partial x^k}a^k$
Суть задачи найти $\frac{\partial \bar x^i}{\partial x^k}$
теперь нужно найти метрику в вращающимся цилиндре? я правильно мыслю?
и тут вопрос как написать метрику вращающегося цилиндра? (надеюсь подскажете что нибудь путное из ОТО, запутаться я не боюсь, думаю что бы вы не написали, я разберусь, пусть и не сразу)

[Munin]

specialist в сообщении #1050483 писал(а):

кстати, забавно но в Лайтмане Прессе даже близко похожей задачки нету, че только есть, а нужного нету.

Может, потому что задача даже близко не похожа на корректную?

specialist в сообщении #1050483 писал(а):

И так задачка с двумя метриками: первая - метрика стоячего наблюдателя - видимо метрика минковского

Это уже что-то внятное. Да, так поставить задачу можно. И она приведёт к уравнениям Максвелла в криволинейной с. к.

Вот только называть величины этой с. к. "векторами $\mathbf{E}'$ и $\mathbf{H}'$" опять ни разу не корректно.

specialist в сообщении #1050483 писал(а):

Причем вектора преобразуются: $\bar a^i=\frac{\partial \bar x^i}{\partial x^k}a^k$

Обратите внимание:
- это 4-вектора;
- в неортонормированном локальном базисе.
До наблюдаемых величин их ещё допиливать и допиливать. (Собственно, переходом к ортонормированному локальному базису.)

specialist в сообщении #1050483 писал(а):

теперь нужно найти метрику в вращающимся цилиндре? я правильно мыслю?

Как видно из ваших формул, метрику вам даже не нужно искать. Достаточно найти матрицу Якоби (набор частных производных новых координат по старым).

Для этого достаточно положить $\varphi'=\varphi-\omega t$ (остальные координаты в цилиндрической с. к. неизменны). Дальше сами разберётесь?

[specialist]

Munin в сообщении #1050487 писал(а):

Как видно из ваших формул, метрику вам даже не нужно искать. Достаточно найти матрицу Якоби (набор частных производных новых координат по старым).

Для этого достаточно положить $\varphi'=\varphi-\omega t$ (остальные координаты в цилиндрической с. к. неизменны). Дальше сами разберётесь?

Дык этож не правильно, это чистой воды преобразования Галилея, пусть я не физик и у меня нет физической интуиции, но есть логика - допустим в СТО для матрица якоби содержит ограничение по скорости, в ОТО в матрице Якоби должны появится члены влияющие на электромагнитные процессы от тяготения (как писал Эйнштейн в статье: о принципах относительности и его следствиях - правда там частный случай)
У меня складывается впечатление, что все кто разобрался в ОТО, придерживаются правил как в бойцовском клубе (правило 1 - не говорить о бойцовском клубе))), прошу еще подсказку, видимо идея про матрицу Якоби не верна, что пичально, тогда как правильно (наплевать что задача не стандартная, другую я бы и не взял - или физики не умеют решать нестандартные задачи)?

[Munin]

В ОТО матрица Якоби может быть какая угодно. Только невырожденная. И разумеется, чтобы преобразования координат были непрерывными функциями.

Члены, влияющие на электромагнитные процессы, появляются таким образом (см. Вайнберг. Гравитация и космология, § 3.2):
- от матрицы Якоби $J^\lambda_\alpha=\dfrac{\partial x^\lambda}{\partial\xi^\alpha}$ берутся производные следующим образом:

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\dfrac{\partial x^\lambda}{\partial\xi^\alpha}\dfrac{\partial^2\xi^\alpha}{\partial x^\mu\partial x^\nu};$$

- они называются аффинной связностью, или символами Кристоффеля, и используются затем в уравнениях в любом месте, где требуется дифференцирование, в зависимости от ранга тензора, например:

$$\begin{alignedat}\\S_{,\mu}&\equiv\partial_\mu S&\quad&\to\quad&S_{;\mu}&\equiv D_\mu S=\partial_\mu S\\V^\lambda{}_{,\mu}&\equiv\partial_\mu V^\lambda&\quad&\to\quad&V^\lambda{}_{;\mu}&\equiv D_\mu V^\lambda=\partial_\mu V^\lambda+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}V^\nu\\V_{\lambda,\mu}&\equiv\partial_\mu V_\lambda&\quad&\to\quad&V_{\lambda;\mu}&\equiv D_\mu V_\lambda=\partial_\mu V_\lambda-\Gamma^\nu_{\lambda\mu}V_\nu\\T^{\kappa\lambda}{}_{,\mu}&\equiv\partial_\mu T^{\kappa\lambda}&\quad&\to\quad&T^{\kappa\lambda}{}_{;\mu}&\equiv D_\mu T^{\kappa\lambda}=\partial_\mu T^{\kappa\lambda}+\Gamma^\kappa_{\mu\nu}T^{\nu\lambda}+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}T^{\kappa\nu}\\T^\kappa_\lambda{}_{,\mu}&\equiv\partial_\mu T^\kappa_\lambda&\quad&\to\quad&T^\kappa_\lambda{}_{;\mu}&\equiv D_\mu T^\kappa_\lambda=\partial_\mu T^\kappa_\lambda+\Gamma^\kappa_{\mu\nu}T^\nu_\lambda-\Gamma^\nu_{\lambda\mu}T^\kappa_\nu\\T_{\kappa\lambda,\mu}&\equiv\partial_\mu T_{\kappa\lambda}&\quad&\to\quad&T_{\kappa\lambda;\mu}&\equiv D_\mu T_{\kappa\lambda}=\partial_\mu T_{\kappa\lambda}-\Gamma^\nu_{\kappa\mu}T_{\nu\lambda}-\Gamma^\nu_{\lambda\mu}T_{\kappa\nu}\\\end{alignedat}$$

В том числе, в уравнениях Максвелла.

А читать ранние статьи Эйнштейна не стоит. Стоит читать учебники.

Кстати, то определение аффинной связности, что я привёл, действует только для криволинейной системы координат в плоском пространстве-времени. А когда есть неустранимая гравитация, то минковской системы координат $\xi^\alpha$ не существует, и связность вычисляют через метрический тензор

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\tfrac{1}{2}\,g^{\lambda\rho}\,(-\partial_\rho g_{\mu\nu}+\partial_\mu g_{\rho\nu}+\partial_\nu g_{\mu\rho}).$$

Но в вашей задаче этого не понадобится.

[мат-ламер]

specialist в сообщении #1050728 писал(а):

Дык этож не правильно, это чистой воды преобразования Галилея,

А что вы хотели? У вас две системы отсчёта.

specialist в сообщении #1050174 писал(а):

1) выбор лабораторной системы координат: ну тут ясно цилиндрическая
2) выбор вращающейся системы координат: тоже цилиндрические,

Расстояние между ними не меняется. На какие релятивистские эффекты вы расчитываете?
Уточните у вашего руководителя постановку задачи. В частности, что означает

specialist в сообщении #1050174 писал(а):

в системе координат вращающегося цилиндра

(Я уже вас об этом спрашивал).
Потому как цилиндрическая система координат - это одно, а вращающийся цилиндр - это другое. И на поверхности вращающегося цилиндра часы будут идти медленнее, чем в его центре. И для чего в задаче вообще задан цилиндр и его радиус? Может быть идея задачи была в том, чтобы подсчитать поля в СО наблюдателя, который находится на поверхности цилиндра и вращается вместе с ним?

[Munin]

И при чём тут масса цилиндра...

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1050976 писал(а):

И при чём тут масса цилиндра...

Искривлением пространства-времени этой массой по-видимому можно пренебречь. (Топик-стартер занимается прикладными вопросами).

[Munin]

Неизвестно, чем он занимается. Сам он делает таинственный вид. На практике такая задача возникнуть не может.

[specialist]

У меня вопрос, вот я гляжу на два уравнения Максвелла в ковариантной форме:
(1)$$\begin \partial_\mu F^{\lambda \mu}=J^\lambda
(2)$$\begin \partial^{\lambda} F_{\lambda \mu}\equiv 0
Ну ладно допустим в выражении (1) ковариантная производная тензора, но опять встает задача о знании либо матрицы Якоби заранее (и в ней не будит ни одного релятивисткого эффекта преобразования координат если следовать выражению $\varphi'=\varphi-\omega t$) либо о знании метрического тензора в искривленном от вращающегося цилиндра пространстве. Я хочу понять как из ОТО вытекает преобразования Лоренца, и аналогично сделать в моем случае, неужели это такой секрет, которые физики охраняют?
И я не делаю таинственный вид, мне интересно решить эту задачу методами ОТО, мне не жалко потратить свое время и у меня нет толкового преподавателя на кафедре физики, поэтому общаюсь я тут, хорош искать глубокое подполье, просто на кафедре физики человек занимающийся ОТО не хочет консультировать, а другие знают этот курс сквозь пальцы, но это все не важно, важно то что вы можете помочь разобраться. Кстати есть еще задачники по ОТО с решениями кроме Лайтмана Пресса?