0. Интегрируя по частям исходный третий интеграл (
), и разбивая на более простые интегралы, получим
,
где
,
,
,
.
Из предыдущих сообщений темы ясно как точно или приближенно вычислить
,
,
, остановимся на вычислении
. В этом сообщении для вычисления
делаются первые пришедшие в голову преобразования, позволяющие воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии
,
.
,
где
,
.
Полученные в
интегралы, вычисляются аналогичным образом разложением знаменателей в ряд и интегрированием по частям.
Для нахождения необходимого числа слагаемых
для вычисления с наперед заданной точностью суммы
заметим, что хвост мажорируется геометрической прогрессией
. Таким же способом оценивается и необходимое число слагаемых при вычислении суммы ряда первого интеграл в
.
Добавлено на следующий день (27.02.08) утром
1. Пояснение к оценке числа членов частичной суммы, достаточного для получения заданной точности
Допустим мы хотим вычислить сумму ряда
с точностью не меньшей
. Обозначим частичную сумму ряда через
, а остаток через
. По определению, сумма вычислена с точностью не хуже
если
. Для этого достаточно выполнения второго неравенства:
.
(Первое неравенство выполняется по самому выбору мажоранты.) Отсюда получаем оценку сверху
, где через [x] обозначена функция "целая часть числа x" ("антье x"). В нашем случае
. Воспользовавшись достаточно точными приближенными значения
и
, получим
.
Из этого примера видно, что получаемое таким образом значение оценки
сильно завышено.
Добавлено утром 01.03.08
2. При сведении неберущихся интегралов будут возникать и знакочередующиеся ряды. Для оценки (достаточного для вычисления суммы ряда с заданной точностью) номера N, можно воспользоваться тем, что модуль суммы сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого члена [1], [2, "Приближенное нахождение сумм числовых рядов"].
Ref.
[1] Фихтенгольц, т. II (см. полную ссылку в моем сообщении раньше в теме).
[2] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М., 1963.
Добавлено днем 10.03.08
3. Дополнение к п.1
Используя более точную очевидную оценку остатка ряда
,
можно перебором найти N такой, что остаток будет меньше
.
Например, для выбранного ранее
получим N = 3. (При этом: с точностью 10 знаков
,
.)
Днем 10.03.08 в n.1 исправлена оценка N