Вычисление интеграла разложением в ряд

[GAA]

$\lim\limits_{z\to+\infty} z{\ln^2\frac{z}{1+z} = [\infty0] = \lim\limits_{z\to+\infty}z\ln^2[1-1/(1+z)] =\lim\limits_{z\to+\infty}z/(1+z)^2 = 0$.
Здесь для раскрытия неопределенности использована эквивалентность для логарифма (грубо говоря, первый член разложения логарифма в ряд), но можно воспользоваться и правилом Лопиталя (только это уже совсем не естественно в данной ситуации).
Добавлено в 18 часов
Для раскрытия неопределенности $ [0\infty]$ при подстановке нижнего предела интегрирования удобно заменить $\ln^2\frac{z}{1+z}$ на эквивалентную (при $z\to+0$) функцию $\ln^2z$, воспользоваться правилом Лопиталя, упростить, и затем повторно воспользоваться правилом Лопиталя:
$\lim\limits_{z\to+0} z{\ln^2\frac{z}{1+z} = \lim\limits_{z\to+0}\frac{\ln^2 z}{1/z} = \lim\limits_{z\to+0}\frac{2\ln{z}\cdot 1/z}{-1/z^2} \equiv -2\lim\limits_{z\to+0}\frac{\ln{z}}{1/z} =-2\lim\limits_{z\to+0}\frac{1/z}{-1/z^2} = 0$

[Gafield]

Цитата:

Вот посчитает например программа приближенно, а я про это знать не буду. Даже если погрешность будет очень маленькая, то надо будет все равно обосновывать, почему я ее отбрасываю, а не учитываю.

Если компьютер нашел интеграл символьно, то это либо верно, либо неверно. Никаких "посчитает приближенно" здесь нет. Численное интегрирование делается только для проверки, см. выше. Далее, в математических пакетах имеются команды для вычисления специальных функций с любой нужной точностью, которая может быть задана явно. То же самое относится к константам вроде $\pi$ и т.п. Можно задать точность, скажем, в 40 знаков. Если мало, можно посчитать с 80, а заодно убедиться, что первые 40 одни и те же. Что здесь обосновывать? Например, Mathematica дает $Li_2(1/2)=0.5822405264650125059026563201596801087442$. Если хочется проверки, можно посчитать в другом пакете. В Mаple $Li_2(1/2)=0.58224052646501250590265632015968010874421$. Сорок знаков после запятой одинаковы. Какова вероятность случайного совпадения двух ответов? Как раз, если вычислять приближенно в виде рядов, придется оценивать погрешность.

Другое дело, если не получается найти в символьном виде. Но тогда пример ф студию! А то что обсуждать интеграл, который является линейной функцией

ЗЫ Чтобы вычислять результат с такой "произвольной" точностью, надо задавать аргументы функций в рациональном виде, без десятичной точки. К примеру, вместо 0.337 надо брать 337*10^(-3).

[незваный гость]

Gafield писал(а):

Можно задать точность, скажем, в 40 знаков. Если мало, можно посчитать с 80, а заодно убедиться, что первые 40 одни и те же. Что здесь обосновывать?

Есть два немного разных параметра — PrecisionGoal и AccuracyGoal. Их оба надо задать правильно.

Gafield писал(а):

Сорок знаков после запятой одинаковы. Какова вероятность случайного совпадения двух ответов?

Не меньше вероятности одинаковой ошибки авторов программ. А последнее не исключено: существует достаточно большая вероятность того, что писал вообще один и тот же человек (специалистов не так уж много). А в качестве проверки просто запустил своё предыдущее творение.

По тем же причинам подсчёт 80 знаков — всего лишь одна из проверок 40.

P.S. Borea упёрлась в своё «я не могу». И то, что программы разные, слышать не хочет. Впрочем, в одном она права:

Borea писал(а):

Вот посчитает например программа приближенно, а я про это знать не буду.

— если не знаешь, что программа делает, лучше ей не пользоваться. Может ведь и диск стереть.

[Gafield]

незваный гость писал(а):

Есть два немного разных параметра — PrecisionGoal и AccuracyGoal. Их оба надо задать правильно.

Это если считать интеграл численно. Как раз предлагается это не делать, кроме как для проверки, где сгодится и меньшая точность. Пример же посчитан с помощью команд N[...,40] и evalf(...,40). А если проверок мало, то можно и другие найти, не в том вопрос.

[незваный гость]

Gafield писал(а):

Пример же посчитан с помощью команд N[...,40] и evalf(...,40). А если проверок мало, то можно и другие найти, не в том вопрос.

да-да, я это понимаю. Я говорил ровно о том, что происходит, когда Вы переходите от формулы к числу. Где гарантия, что алгорифм численного вычисления дилогарифма корректен? И, задавая параметры N[] мы как раз и задаём те самые параметры. А функции Accuracy[] и Precision[] позволяют посмотреть, что же у нас получилось.

Кстати, для Borea: есть ещё и программы интервальных вычислений. Они выдают точность результата в явном виде даже для приближённых данных. Тоже «я не могу»?

[Borea]

GAA писал(а):

$\lim\limits_{z\to+\infty} z{\ln^2\frac{z}{1+z} = [\infty0] = \lim\limits_{z\to+\infty}z\ln^2[1-1/(1+z)] =\lim\limits_{z\to+\infty}z/(1+z)^2 = 0$.
Здесь для раскрытия неопределенности использована эквивалентность для логарифма ...

Поняла. Благодарю за помощь.
Всем благодарю за помощь.
Осталось всего 7 интегралов. Только малек посложнее этого. Я в панике... Если я с этим не справилась, дак с остальными и подавно не смогу...

Добавлено спустя 9 минут 35 секунд:

незваный гость писал(а):

P.S. Borea упёрлась в своё «я не могу». И то, что программы разные, слышать не хочет.

Товарищи! Вы меня убъете... Мне и так плохо от этих интегралов, а тут еще все ко мне пристают со своими программами.
Мне лично АБСОЛЮТНО ВСЕРАВНО как считать интегралы. Я просто попыталась (и наверно неудачно судя по количеству мнений) объяснить с точки зрения преподавателей, которым я буду сдавать эту работу, почему надо своими ручками все выводить... Вы знаете что такое кафедра старой закалки? Они меня при сдаче спросят, почему программой считала, а не так, и что я им отвечу? Мол так проще? Время экономит? А они мне - уважаемая, а вы что легких путей ищете, вы же специалист! И т.д. и т.п.

незваный гость писал(а):

если не знаешь, что программа делает, лучше ей не пользоваться. Может ведь и диск стереть.

Удар ниже пояса... Щас опять обижусь...

Добавлено спустя 6 минут 13 секунд:

А что вы думаете про нахождение интеграла в символьном виде в MatLab-е?

[Brukvalub]

Borea писал(а):

Они меня при сдаче спросят, почему программой считала, а не так, и что я им отвечу? Мол так проще? Время экономит? А они мне - уважаемая, а вы что легких путей ищете, вы же специалист! И т.д. и т.п.

А я тогда их спрошу: "Что вы делаете на кафедре старой закалки, если до сих пор не освоили математических пакетов? Таких закостенелых ретроградов надо палкой гнать с кафедры!" Тут они засмущаются, испугаются и поставят мне пять с плюсом!

[незваный гость]

Borea писал(а):

объяснить с точки зрения преподавателей, которым я буду сдавать эту работу,

Наконец-то мы дошли до сути. А то метрология, ошибки…

Borea писал(а):

Они меня при сдаче спросят, почему программой считала, а не так, и что я им отвечу? Мол так проще? Время экономит?

Ну, это зависит от кафедры. Если не кафедра матана (или другой области математики) — то, в общем, это не их проблема. Скажем, у Роберта Хайнлайна ушло 3 месяца (своего времени и времени жены, профессионального расчётчика) на расчёт траектории полёта на Марс. Поскольку тогда ни калькуляторов, ни компьютеров не было. Но представить себе сегодня Jet Propulsion Lab без компьютера — ну, скажем, затруднительно. Время специалистов стоит слишком дорого.

Это, впрочем, не меняет Вашего положения. Вряд ли Вам стоит объяснять профессорам и академикам, что следует делать. Поэтому давайте попробуем вернуться к Вашим интегралам. Семь, говорите?

Добавлено спустя 1 минуту 27 секунд:

Brukvalub писал(а):

Таких закостенелых ретроградов надо палкой гнать с кафедры!

Добрый Вы. Палкой… Бичом из буйволиной кожи. И принудительное проветривание на неделю: нафтлин — сильный канцероген.

[Gordmit]

Borea писал(а):

Gordmit писал(а):

Правда, в обоих случаях, конечно, необходимо обосновать законность почленного интегрирования рядов.

Там получается, что при разложении в ряд по степеням

$$\frac{1}{1+z}$$

диапазон рассматриваемых значений меняется на [0,1] (если делать замену переменных). Полученный ряд сходится в диапазоне [-1,1), а при возвращении к замененной переменной, этот диапазон будет от нуля до бесконечности. Т.е. мы можем выполнить почленное интегрирования там где ряд сходится. Правильно?

Просто сходимости ряда недостаточно. Надо, чтобы он сходился равномерно, да еще ситуация немного осложняется тем, что интеграл здесь несобственный.
Но здесь равномерная сходимость на отрезке $[\varepsilon,\frac{1}{\varepsilon}]$ при любом сколь угодно малом $\varepsilon>0$ есть (это следует из того, что степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся в интервале сходимости), поэтому на этом отрезке его можно почленно проинтегрировать, а затем перейти к пределу при $\varepsilon\to 0$.
Впрочем, об этих тонкостях Вам задумываться, наверное, не нужно, просто надо знать о их существовании.

[Borea]

Gordmit писал(а):

Просто сходимости ряда недостаточно. Надо, чтобы он сходился равномерно, да еще ситуация немного осложняется тем, что интеграл здесь несобственный.
Но здесь равномерная сходимость на отрезке $[\varepsilon,\frac{1}{\varepsilon}]$ при любом сколь угодно малом $\varepsilon>0$ есть (это следует из того, что степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся в интервале сходимости), поэтому на этом отрезке его можно почленно проинтегрировать, а затем перейти к пределу при $\varepsilon\to 0$.
Впрочем, об этих тонкостях Вам задумываться, наверное, не нужно, просто надо знать о их существовании.

Спасибо. Теперь знаю. Задумываться сильно и в самом деле не надо, но иметь какое-то представление все же надо. Так что спасибо

Добавлено спустя 21 минуту 53 секунды:

И еще один интегральчик

Взялась вот за следующий интеграл. Он имеет вид

$$\int\limits_0^\infty {\ln^2\frac{(t+a)^2}{t(t+2a)}\,dt$$

Сначала делаю замену z=t\a. Прихожу к интегралу

$$\int\limits_0^\infty {\ln^2\frac{(z+1)^2}{z(z+2)}\,dz$$

Дальше интегрирую по частям (как в предыдущем примере), принимая

$$u={\ln^2\frac{(z+1)^2}{z(z+2)}$$

, dv=dz. Получаю следующий интеграл:

$$4\int\limits_0^\infty \frac{1}{(z+1)(z+2)}{\ln \frac{(z+1)^2}{z(z+2)}\,dz$$

Теперь вопрос. Как разложить в ряд подинтегральное выражение? Тут квадрат под логарифмом.
Буду благодарна за помощь

[citadeldimon]

Я думаю сначала надо сделать следующий шаг $\ln^2\frac {(t+a)^2}{t(t+2a)}=\ln^2\frac{t^2+2at+a^2}{t^2+2at}=\ln^2(1+\frac{a^2}{t(t+2a)})$ , а дальше по аналогии с предыдущим (извиняйте не сильно вчитывался в предыдущие посты, но техника должна пройти и тут).


Этот метод действительно очень трудоемок и нецелесообразен (спешил к студентам проводить пару и впопыхах первую мысль и написал). Извиняюсь. Спасибо GAA за рекомендацию.

[ИСН]

Я ещё менее вчитывался, но скажу кратко: квадрат под логарифмом - это уже не квадрат. И дробь под логарифмом - это не дробь.

[Gordmit]

Советую сделать сначала сдвиг: $z\to z-1$, тогда с выражением под логарифмом будет работать проще. Потом уже можно интегрировать по частям (только нужно будет взять $dv=d(z-1)$) и вообще поступать аналогично. В итоге снова придете к считающимся суммам, одна из них вида

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1$$

, а другая - вида

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(2n+1)}$$

- сводится к

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$$

.

[незваный гость]

У меня получилось (Mathematica) $a(\frac{\pi^2}{3} - 4 \ln^2 2)$. По ряду соображений, ответ правдоподобный. А вот ряды не получились…

[Gafield]

У меня версия 5.2 так же, как у Someone, для $a>0$ дает $a\pi^2/3$. Численно сходится.