0. Интегрируя по частям исходный третий интеграл (

), и разбивая на более простые интегралы, получим


,
где

,

,

,

.
Из предыдущих сообщений темы ясно как точно или приближенно вычислить

,

,

, остановимся на вычислении

. В этом сообщении для вычисления

делаются первые пришедшие в голову преобразования, позволяющие воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии

,

.

,
где

,
![$I_{32} = \int_0^1{\frac{\ln[(1-z)/(1+z)]}{1+2z}}\,dz = 2\int_0^1{\frac{\ln(t)}{(3-t)(1+t)}}\,dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\int_0^1{\frac{\ln(t)}{1-t/3}}\,dt + \int_0^1{\frac{\ln(t)}{1+t}}\,dt \right)$ $I_{32} = \int_0^1{\frac{\ln[(1-z)/(1+z)]}{1+2z}}\,dz = 2\int_0^1{\frac{\ln(t)}{(3-t)(1+t)}}\,dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\int_0^1{\frac{\ln(t)}{1-t/3}}\,dt + \int_0^1{\frac{\ln(t)}{1+t}}\,dt \right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/7/0e76f3903cfc1c675ad7a329d0fcc4de82.png)
.
Полученные в

интегралы, вычисляются аналогичным образом разложением знаменателей в ряд и интегрированием по частям.
Для нахождения необходимого числа слагаемых

для вычисления с наперед заданной точностью суммы

заметим, что хвост мажорируется геометрической прогрессией

. Таким же способом оценивается и необходимое число слагаемых при вычислении суммы ряда первого интеграл в

.
Добавлено на следующий день (27.02.08) утром
1. Пояснение к оценке числа членов частичной суммы, достаточного для получения заданной точности
Допустим мы хотим вычислить сумму ряда

с точностью не меньшей

. Обозначим частичную сумму ряда через

, а остаток через

. По определению, сумма вычислена с точностью не хуже

если

. Для этого достаточно выполнения второго неравенства:

.
(Первое неравенство выполняется по самому выбору мажоранты.) Отсюда получаем оценку сверху
![$ N(\epsilon) = \left[\frac{\ln(\epsilon)}{\ln(2/3)}\right]$ $ N(\epsilon) = \left[\frac{\ln(\epsilon)}{\ln(2/3)}\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/2/fd269831a28b41c177620119fc15f48b82.png)
, где через [x] обозначена функция "целая часть числа x" ("антье x"). В нашем случае

. Воспользовавшись достаточно точными приближенными значения

и

, получим

.
Из этого примера видно, что получаемое таким образом значение оценки

сильно завышено.
Добавлено утром 01.03.08
2. При сведении неберущихся интегралов будут возникать и знакочередующиеся ряды. Для оценки (достаточного для вычисления суммы ряда с заданной точностью) номера N, можно воспользоваться тем, что модуль суммы сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого члена [1], [2, "Приближенное нахождение сумм числовых рядов"].
Ref.
[1] Фихтенгольц, т. II (см. полную ссылку в моем сообщении раньше в теме).
[2] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М., 1963.
Добавлено днем 10.03.08
3. Дополнение к п.1
Используя более точную очевидную оценку остатка ряда

,
можно перебором найти N такой, что остаток будет меньше

.
Например, для выбранного ранее

получим N = 3. (При этом: с точностью 10 знаков

,

.)
Днем 10.03.08 в n.1 исправлена оценка N