Теория Галуа

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):

Скачайте Постникова и Кострикина и читайте у них про теорию Галуа, потом задавайте вопросы.

Зачем скачивать и читать такие сложные книги, если прямо здесь под руководством уважаемого Xaositect можно на двух стр. быстренько выучить теорию Галуа, не заморачиваясь на "мнгабукафф"?

[Sonic86]

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1049746 писал(а):

Зачем скачивать и читать такие сложные книги, если прямо здесь под руководством уважаемого Xaositect можно на двух стр. быстренько выучить теорию Галуа, не заморачиваясь на "мнгабукафф"?

Думаю, что вероятная причина - это "ниасилил". Я в свое время тоже сразу ниасилил - мне приходилось читать сначала краткие тексты о теории Галуа, потом тексты подлиннее или отдельные ее главы, а потом уже целиком или почти целиком, но я вот все равно ниасилил.
Т.е. м.б. это немного для мотивации, м.б. из желания ухватить общие контуры картины, чтобы потом легче ориентироваться.
ИМХО

[Xaositect]

Valen007 в сообщении #1049735 писал(а):

Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2: $ (x+1)(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)$.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?

А вот для этого уже читайте книги из Вашего первого поста, например. Я просто объяснил на пальцах, в чем суть, а для того, чтобы нормально всем этим оперировать, надо расширения полей и так далее.

[Valen007]

Sonic86 в сообщении #1049747 писал(а):

(Brukvalub)

Brukvalub в сообщении #1049746 писал(а):

Зачем скачивать и читать такие сложные книги, если прямо здесь под руководством уважаемого Xaositect можно на двух стр. быстренько выучить теорию Галуа, не заморачиваясь на "мнгабукафф"?

Думаю, что вероятная причина - это "ниасилил". Я в свое время тоже сразу ниасилил - мне приходилось читать сначала краткие тексты о теории Галуа, потом тексты подлиннее или отдельные ее главы, а потом уже целиком или почти целиком, но я вот все равно ниасилил.
Т.е. м.б. это немного для мотивации, м.б. из желания ухватить общие контуры картины, чтобы потом легче ориентироваться.
ИМХО

По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее). Т.е. вместо того чтобы затратить 500-1000 часов читая книгу, не лучше потратить 5-10 часов задавая вопросы. Время - деньги, как говорится.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Из той же оперы: как известно, беременность женщины длится 40 недель, то есть примерно 9 мес. Но, если хочется побыстрее завести детей, можно жениться сразу на 9-ти женщинах, и тогда они родят младенца всего через месяц!

[arseniiv]

Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):

Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее).

Опровергается наблюдениями и современными соображениями о работе мозга. К сожалению, в него нельзя уложить сразу много.

[Sonic86]

Valen007, какие из нижеперечисленных понятий Вам известны?:
Группа, поле, автоморфизм, расширение поля, нормальная подгруппа, циклическая группа, комплексные числа, корни из единицы, неприводимый многочлен, векторное пространство.
Просто, чтобы ориентироваться.

Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):

По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее).

Можете поискать здесь темы по теории Галуа и посмотреть в книгах задачи по теории Галуа, порешать - дело пойдет быстрее.

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):

Уравнения чаще всего задаются над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

В теории Галуа в качестве основного поля выбирать $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ смысла не имеет - у первого всего одно алгебраическое расширение (с циклической группой второго порядка), а у второго их вообще нет. Обычно берут $\mathbb{Q}$.

[Sonic86]

(AV_77)

AV_77 в сообщении #1049767 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):

Уравнения чаще всего задаются над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

В теории Галуа в качестве основного поля выбирать $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ смысла не имеет - у первого всего одно алгебраическое расширение (с циклической группой второго порядка), а у второго их вообще нет. Обычно берут $\mathbb{Q}$.

Ага, вот ляп номер один
Я хотел сказать, что коэффициенты у уравнений из $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

[Xaositect]

Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):

По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее). Т.е. вместо того чтобы затратить 500-1000 часов читая книгу, не лучше потратить 5-10 часов задавая вопросы. Время - деньги, как говорится.

В десятки или сотни раз вряд ли, ибо за Вас в Вашей голове никто образы создавать не будет. Но если Вы вопрос задавали для того, чтобы понять конкретику, тогда про мой ответ забудьте - он как раз ничего для понимания теории Галуа не дает, это просто попытка объяснить, как проходит доказательство теоремы Абеля, опустив все доказательство. Если хотите разобраться конкретно - давайте разбираться с техникой, что такое расширение, как определить группу Галуа, как уравнения связаны с расширениями полей, почему разрешимость определена именно так, и т.п.

[vanger]

Sonic86 в сообщении #1049742 писал(а):

И я вот блин забыл почему, но $\sigma(\alpha)$ - это тоже корень многочлена.

Просто потому что автоморфизм переводит ноль в ноль, а $\sigma$, мы договорились, оставляет коэффициенты многочлена на месте.
$0 = \sigma(0) = \sigma(a_n \alpha^n + \ldots + a_0) = \sigma(a_n \alpha^n) + \ldots + \sigma(a_0) = a_n \sigma(\alpha)^n + \ldots + a_0$

По теории Галуа мне очень понравилось изложение в Dummit, Foote "Abstract Algebra". Если знание английского позволяет, обязательно стоит заглянуть. Там, может, не самое короткое изложение, но сокращать его -- резать по живому -- при проработке по более короткому тексту всё равно придётся думать про всякое и придумывать примеры, и так описанные в книге. Несмотря на то, что теория Галуа в середине книги, она читаема и без чтения её первой половины. Тем более, про группы вы, как я понимаю, уже знаете что-то. Отсылки на теорию колец весьма редки и могут рассматриваться как техническая деталь доказательства, о которой можно либо тут спросить, либо по другой книжке посмотреть.

[Valen007]

Sonic86 в сообщении #1049766 писал(а):

Valen007, какие из нижеперечисленных понятий Вам известны?:
Группа, поле, автоморфизм, расширение поля, нормальная подгруппа, циклическая группа, комплексные числа, корни из единицы, неприводимый многочлен, векторное пространство.
Просто, чтобы ориентироваться.

Valen007 в сообщении #1049759 писал(а):

По этой причине я и задаю вопросы на форуме, чтобы сократить время, т.к. можно очень большое количество времени потратить на то, чтобы понять литературу по Галуа. Предположительно с объяснениями можно усвоить эту тему быстрее (возможно, в десятки или сотни раз быстрее).

Можете поискать здесь темы по теории Галуа и посмотреть в книгах задачи по теории Галуа, порешать - дело пойдет быстрее.

В общем-то мне все эти понятия известны, кроме неприводимого многочлена.

[Sonic86]

Valen007 в сообщении #1049816 писал(а):

В общем-то мне все эти понятия известны, кроме неприводимого многочлена.

Так Вы тогда можете брать книги и читать, вполне возможно, что Вы даже с 1-го или 2-го раза все осилите
Неприводимый многочлен (в поле) - это просто многочлен, неразложимый в произведение многочленов положительной степени (с коэффициентами из этого поля) (как простое число).

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #1049818 писал(а):

Неприводимый многочлен (в поле)

Над полем $F$ или в кольце многочленов $F[x]$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1049819 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1049818 писал(а):

Неприводимый многочлен (в поле)

Над полем $F$ или в кольце многочленов $F[x]$.

Ладно, я воздержусь от формулировок.