2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 the blob
Сообщение19.08.2015, 20:04 


10/02/11
6786
Изображение

На горизонтальном гладком столе в поле силы тяжести лежит капля идеальной однородной (плотность $\rho=const$) жидкости массы $m$. Ширина пятна на котором лежит капля -- $2a$. Коэффициент поверхностного натяжения -- $\sigma>0$. Атмосфера над столом отсутствует. Задача двумерная, вся в плоскости картинки; $p=[Newton/meter]$.

Выберем размерность величин так, что $\rho=1,\quad g=1,\quad m=1$.
Введем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Через $h$ обозначим высоту капли. Часть границы капли, находящуюся в первой четверти зададим функцией $y=u(x)$,$$u(0)=a,\quad u'(0)=v,\quad u'(h)=-\infty,\quad u(h)=0,\quad \int_0^hu(x)dx=\frac{1}{2}.$$
В силу гипотезы Лапласа, эта функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
$$-x+\frac{1}{2a}=-\sigma\frac{u''}{(1+u'^2)^{3/2}},\quad u''<0.$$
Данное дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах, после однократного интегрирования, получаем
$$-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2a}=-\sigma\frac{u'}{\sqrt{1+u'^2}}+\sigma\frac{v}{\sqrt{1+v^2}}.$$
Ну и собственно к обсуждению предлагается анализ поставленной задачи. Задача состоит в описании множества параметров $v,h>0,a>0,\sigma>0$ при которых существует функция $u$ с указанными свойствами. Разумеется, задача вариационная и можно доказать теорему существования и для многомерной капли вариационными методами, но мне хотелось бы обсудить именно эту элементарную постановку и элементарные методы.

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение20.08.2015, 16:51 
Заслуженный участник


03/01/09
1420
москва
Подставим в исходное уравнение $x=h$. С учетом того, что $u''<0$ получим $h<\dfrac 1{2a} (1)$.
Подставим $x=h$ в последнее уравнение, получим квадратное уравнение для определения $h$. Ввиду условия (1) нужно взять меньший корень этого уравнения. Условие разрешимости квадратного уравнения приводит к неравенству: $$\dfrac 1{a^2}>8\sigma \left (1+\dfrac v{\sqrt {1+v^2}}\right )$$
Больше пока ничего не просматривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение20.08.2015, 23:06 


10/02/11
6786
Лагранжиан
$$L=\sigma\sqrt{1+u'^2}-\Big(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2a}\Big)u'$$

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение22.08.2015, 21:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5729
 i  Пост AlexLib переехал в Карантин

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение23.08.2015, 20:28 


05/05/14
127
Введя новую переменную, тангенс которой равен локальному наклону поверхности капли, можно продвинуться с решением в квадратурах.

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение24.08.2015, 23:34 
Заслуженный участник


03/01/09
1420
москва
Возникло сомнение в правильности исходного уравнения. Слева у нас - давление внутри капли, но тогда должно быть: $$-x+h=-\sigma\frac{u''}{(1+u'^2)^{3/2}},\quad u''<0.$$
Кроме того, чтобы проинтегрировать уравнение один раз, умножаем обе части уравнения на $u'$, в результате получим:$$\int \limits _0^x(-t+h)u'dt=\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+u'^ {2}}}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+v^2}}.$$
Положим $x=h$ в последнем равенстве и проинтегрируем по частям, учтем также нормировку функции $u$. Если нигде не ошибся, получим соотношение между $a \text {и} h$ $$ ah=\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+v^2}}-\frac 12.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение25.08.2015, 00:32 


10/02/11
6786
Пишем уравнение Эйлера $p_x=-\rho g,\quad p_y=0$. Отсюда $p=-\rho g x+p_0,$ где $p_0=\frac{mg}{2a}$ -- давление на полу.

-- Вт авг 25, 2015 00:33:13 --

mihiv в сообщении #1047551 писал(а):
умножаем обе части уравнения на $u'$, в результате получим:

а я не умножая проинтегрировал. просто продифференцируйте последнее уравнение в моем посте

-- Вт авг 25, 2015 00:36:03 --

у меня есть подозрения, что эта задача в плоской постановке вообще некорректна по весьма тонким причинам

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение25.08.2015, 18:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1420
москва
Oleg Zubelevich в сообщении #1047580 писал(а):
Пишем уравнение Эйлера $p_x=-\rho g,\quad p_y=0$. Отсюда $p=-\rho g x+p_0,$ где $p_0=\frac{mg}{2a}$ -- давление на полу.

Понятно. Но тогда можно показать, что такой функции $u$ не существует. Для этого умножим обе части уравнения $-x+\dfrac 1{2a}=-\sigma \dfrac {u''}{(1+u'^2)^{\frac 32}}$ на $u'$ и проинтегрируем по $x$ от 0 до $h$.
Интеграл от левой части:$$\int \limits _0^h(-x+\dfrac 1{2a})u'(x)dx=(-x+\dfrac 1{2a})u(x)|\limits_0^h+\int \limits _0^hu(x)dx=-\frac 12+\frac 12=0$$ Интеграл от правой части:$$-\sigma \int \limits _0^h\dfrac {u'u''}{(1+u'^2)^{\frac 32}}dx=-\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+v^2}}$$Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение29.08.2015, 18:47 


05/05/14
127
Физически правильная постановка задачи соответствует известному и фиксированному v (угол смачивания),
при этом радиус пятна a должен получиться из постоянства объема капли.
Решение реализуется и для положительных, и для отрицательных v .
Плоский случай соответствует росту кристалла на подложке с сильно анизотропным смачиванием.
Приближенные решения известны (литература по росту кристаллов примерно 60-х - 80-х годов прошлого века)

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение29.08.2015, 20:19 


10/02/11
6786
Вот не понимаю я этих вещей.

AlexLib в сообщении #1047232 писал(а):
Введя новую переменную, тангенс которой равен локальному наклону поверхности капли, можно продвинуться с решением в квадратурах.


Это Вы в решении в квадратурах уравнении вида $u'(x)=f(x)$ предлагаете продвигаться с помощью такой подстановки? Ну-ну.

AlexLib в сообщении #1049137 писал(а):
Плоский случай соответствует росту кристалла на подложке с сильно анизотропным смачиванием.


Вам, ведь, уже объяснили, что плоский случай ни чему не соответствует. Ну и зачем это все, зачем весь этот белый шум?

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение29.08.2015, 20:39 


05/05/14
127
Цитата:
уже объяснили, что плоский случай ни чему не соответствует

То есть физическая ситуация имеется, но математически ее описать невозможно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение29.08.2015, 21:01 


10/02/11
6786
Плоская модель, предложенная мной, некорректна. Ни каких других моделей тут не обсуждалось. Если Вы хотите предложить какую-то другую модель -- вэлкм. Опишите задачу, составьте уравнения, появится предмет для разговора.

 Профиль  
                  
 
 Re: the blob
Сообщение29.08.2015, 21:07 


05/05/14
127
Если в Вашем выражении для лагранжиана величина а не константа, а определяется из условия постоянной площади капли ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group