the blob

[Oleg Zubelevich]

На горизонтальном гладком столе в поле силы тяжести лежит капля идеальной однородной (плотность $\rho=const$) жидкости массы $m$. Ширина пятна на котором лежит капля -- $2a$. Коэффициент поверхностного натяжения -- $\sigma>0$. Атмосфера над столом отсутствует. Задача двумерная, вся в плоскости картинки; $p=[Newton/meter]$.

Выберем размерность величин так, что $\rho=1,\quad g=1,\quad m=1$.
Введем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Через $h$ обозначим высоту капли. Часть границы капли, находящуюся в первой четверти зададим функцией $y=u(x)$,

$$u(0)=a,\quad u'(0)=v,\quad u'(h)=-\infty,\quad u(h)=0,\quad \int_0^hu(x)dx=\frac{1}{2}.$$

В силу гипотезы Лапласа, эта функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

$$-x+\frac{1}{2a}=-\sigma\frac{u''}{(1+u'^2)^{3/2}},\quad u''<0.$$

Данное дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах, после однократного интегрирования, получаем

$$-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2a}=-\sigma\frac{u'}{\sqrt{1+u'^2}}+\sigma\frac{v}{\sqrt{1+v^2}}.$$

Ну и собственно к обсуждению предлагается анализ поставленной задачи. Задача состоит в описании множества параметров $v,h>0,a>0,\sigma>0$ при которых существует функция $u$ с указанными свойствами. Разумеется, задача вариационная и можно доказать теорему существования и для многомерной капли вариационными методами, но мне хотелось бы обсудить именно эту элементарную постановку и элементарные методы.

[mihiv]

Подставим в исходное уравнение $x=h$. С учетом того, что $u''<0$ получим $h<\dfrac 1{2a} (1)$.
Подставим $x=h$ в последнее уравнение, получим квадратное уравнение для определения $h$. Ввиду условия (1) нужно взять меньший корень этого уравнения. Условие разрешимости квадратного уравнения приводит к неравенству:

$$\dfrac 1{a^2}>8\sigma \left (1+\dfrac v{\sqrt {1+v^2}}\right )$$

Больше пока ничего не просматривается.

[Oleg Zubelevich]

Лагранжиан

$$L=\sigma\sqrt{1+u'^2}-\Big(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2a}\Big)u'$$

[Deggial]

Пост AlexLib переехал в Карантин

[AlexLib]

Введя новую переменную, тангенс которой равен локальному наклону поверхности капли, можно продвинуться с решением в квадратурах.

[mihiv]

Возникло сомнение в правильности исходного уравнения. Слева у нас - давление внутри капли, но тогда должно быть:

$$-x+h=-\sigma\frac{u''}{(1+u'^2)^{3/2}},\quad u''<0.$$

Кроме того, чтобы проинтегрировать уравнение один раз, умножаем обе части уравнения на $u'$, в результате получим:

$$\int \limits _0^x(-t+h)u'dt=\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+u'^ {2}}}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+v^2}}.$$

Положим $x=h$ в последнем равенстве и проинтегрируем по частям, учтем также нормировку функции $u$. Если нигде не ошибся, получим соотношение между $a \text {и} h$

$$ ah=\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+v^2}}-\frac 12.$$

[Oleg Zubelevich]

Пишем уравнение Эйлера $p_x=-\rho g,\quad p_y=0$. Отсюда $p=-\rho g x+p_0,$ где $p_0=\frac{mg}{2a}$ -- давление на полу.

-- Вт авг 25, 2015 00:33:13 --

mihiv в сообщении #1047551 писал(а):

умножаем обе части уравнения на $u'$, в результате получим:

а я не умножая проинтегрировал. просто продифференцируйте последнее уравнение в моем посте

-- Вт авг 25, 2015 00:36:03 --

у меня есть подозрения, что эта задача в плоской постановке вообще некорректна по весьма тонким причинам

[mihiv]

Oleg Zubelevich в сообщении #1047580 писал(а):

Пишем уравнение Эйлера $p_x=-\rho g,\quad p_y=0$. Отсюда $p=-\rho g x+p_0,$ где $p_0=\frac{mg}{2a}$ -- давление на полу.

Понятно. Но тогда можно показать, что такой функции $u$ не существует. Для этого умножим обе части уравнения $-x+\dfrac 1{2a}=-\sigma \dfrac {u''}{(1+u'^2)^{\frac 32}}$ на $u'$ и проинтегрируем по $x$ от 0 до $h$.
Интеграл от левой части:

$$\int \limits _0^h(-x+\dfrac 1{2a})u'(x)dx=(-x+\dfrac 1{2a})u(x)|\limits_0^h+\int \limits _0^hu(x)dx=-\frac 12+\frac 12=0$$

Интеграл от правой части:

$$-\sigma \int \limits _0^h\dfrac {u'u''}{(1+u'^2)^{\frac 32}}dx=-\dfrac {\sigma }{\sqrt {1+v^2}}$$

Противоречие.

[AlexLib]

Физически правильная постановка задачи соответствует известному и фиксированному v (угол смачивания),
при этом радиус пятна a должен получиться из постоянства объема капли.
Решение реализуется и для положительных, и для отрицательных v .
Плоский случай соответствует росту кристалла на подложке с сильно анизотропным смачиванием.
Приближенные решения известны (литература по росту кристаллов примерно 60-х - 80-х годов прошлого века)

[Oleg Zubelevich]

Вот не понимаю я этих вещей.

AlexLib в сообщении #1047232 писал(а):

Введя новую переменную, тангенс которой равен локальному наклону поверхности капли, можно продвинуться с решением в квадратурах.

Это Вы в решении в квадратурах уравнении вида $u'(x)=f(x)$ предлагаете продвигаться с помощью такой подстановки? Ну-ну.

AlexLib в сообщении #1049137 писал(а):

Плоский случай соответствует росту кристалла на подложке с сильно анизотропным смачиванием.

Вам, ведь, уже объяснили, что плоский случай ни чему не соответствует. Ну и зачем это все, зачем весь этот белый шум?

[AlexLib]

Цитата:

уже объяснили, что плоский случай ни чему не соответствует

То есть физическая ситуация имеется, но математически ее описать невозможно ?

[Oleg Zubelevich]

Плоская модель, предложенная мной, некорректна. Ни каких других моделей тут не обсуждалось. Если Вы хотите предложить какую-то другую модель -- вэлкм. Опишите задачу, составьте уравнения, появится предмет для разговора.

[AlexLib]

Если в Вашем выражении для лагранжиана величина а не константа, а определяется из условия постоянной площади капли ?