
На горизонтальном гладком столе в поле силы тяжести лежит капля идеальной однородной (плотность

) жидкости массы

. Ширина пятна на котором лежит капля --

. Коэффициент поверхностного натяжения --

. Атмосфера над столом отсутствует. Задача двумерная, вся в плоскости картинки;
![$p=[Newton/meter]$ $p=[Newton/meter]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e0765117da935cea9a31a4d5515b5782.png)
.
Выберем размерность величин так, что

.
Введем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Через

обозначим высоту капли. Часть границы капли, находящуюся в первой четверти зададим функцией

,

В силу гипотезы Лапласа, эта функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

Данное дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах, после однократного интегрирования, получаем

Ну и собственно к обсуждению предлагается анализ поставленной задачи. Задача состоит в описании множества параметров

при которых существует функция

с указанными свойствами. Разумеется, задача вариационная и можно доказать теорему существования и для многомерной капли вариационными методами, но мне хотелось бы обсудить именно эту элементарную постановку и элементарные методы.