Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?

[Divergence]

Правильно ли относить последовательность

$$x_n:=\delta_{n,1} \quad \in l^2 \quad \in l^{\infty} \quad ? $$

к пространству квадратично и бесконечно суммируемых последовательностей?
($\delta_{n,1}=1$ если $n=1$ и $0$ в остальных случаях)
Смущает то, что эта последовательность $\delta_{n,k}$ (последовательность по $n$ при фиксированном $k$)
похожа на дельта-функцию $\delta(x-k)$ :

$$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty}\delta_{n,k} \, f_n = f_k $$

$$ \int^{+\infty}_{-\infty} dx \, \delta (x-k) \, f(x) = f(k),$$

где $k,n \in \mathbb{Z}$, $x \in \mathbb{R}$.
А $\delta(x-k)$ вроде нельзя отнести к $L^2(\mathbb{R})$ или $L^{\infty}(\mathbb{R})$.

[NSKuber]

Последовательность $(1,0,0,\ldots)$ суммируема в квадрате? Ограничена? Определения пространств $l^2$, $l^{\infty}$ знаете?
Вот и ответы на ваши вопросы. При чём тут дельта-(не)функция вообще?

[Divergence]

Тогда возникает другой вопрос.
А как же изоморфизм $L^{2}$ и $l^2$ как сепарабельных гильбертовых пространств?
И в связи с этим изоморфизмом, какой элемент из $L^{2}(\mathbb{R})$ соответствует элементу $\delta_{n,1} \in l^2(\mathbb{Z})$ ?

[mihailm]

Divergence в сообщении #1048968 писал(а):

...элементу $\delta_{n,1} \in l^2(\mathbb{Z})$ ?

А это что такое?

[Vince Diesel]

Divergence в сообщении #1048935 писал(а):

А $\delta(x-k)$ вроде нельзя отнести к $L^2(\mathbb{R})$ или $L^{\infty}(\mathbb{R})$.

Ну, $\delta_{n,k}$ принадлежит любому линейному пространству. Так что можно взять произвольное и спросить, почему дельта-функция не из аналогичного пространства. К тому же это функционал. Вот разным пространствам функционалов дельта-функция и принадлежит. Например, она принадлежит $W^{-1}_\infty(\mathbb R)$ и $W^{-1}_2(\mathbb R)$.

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #1048970 писал(а):

Ну, $\delta_{n,k}$ принадлежит любому линейному пространству последовательностей

-- Сб авг 29, 2015 09:31:59 --

Divergence в сообщении #1048968 писал(а):

И в связи с этим изоморфизмом, какой элемент из $L^{2}(\mathbb{R})$ соответствует элементу $\delta_{n,1} \in l^2(\mathbb{Z})$ ?

Никакой он не the isomorpism, только An isomorphism...

[Vince Diesel]

Ну да, подразумевалось.

[Divergence]

Я вроде не формулировал вопрос так "почему дельта-функция не из аналогичного пространства."
Спрашивал другое (в обратную сторону):
При отображении из $l^2(\mathbb{Z})$ в $L^{2}(\mathbb{R})$, что соответствует элементу $\delta_{n,1}$ (он же существует в $l^2(\mathbb{Z})$) ?

[Vince Diesel]

Вам уже сказали, что изоморфизм не один. Так что $\delta_{n,1}$ может соответствовать любой элемент любого ортонормированного базиса в $L_2(\mathrm{R})$.

[Divergence]

Приведите пожалуйста пример соответствия.
По какой формуле это можно получить?

Делая так, получаю экспоненту

$$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} x_n \, e^{i \, n \, x} = \sum^{+\infty}_{n=-\infty} \delta_{n,m} \, e^{i \, n \, x} = e^{i \, m \, x}$$

которая не принадлежит $L^2(\mathbb{R})$ !
Но видимо принадлежит пространству функционалов (обобщенных функций) и образует там полную систему.
Хотя мне не очень понятно какому (Принадлежит ли ${\cal J}^*(\mathbb{R})$ ?).

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1048991 писал(а):

Делая так

Что Вы делаете? Что за отображение, откуда куда?

Divergence в сообщении #1048991 писал(а):

Приведите пожалуйста пример соответствия.
По какой формуле это можно получить?

Берете любые базисы пространств (базисы счетны) и левой пяткой устанавливаете между ними взаимно-однозначное соответствие. Вот и изоморфизм готов.

[Divergence]

А конкретный пример, если можно.
И чем это вам не понравилось мое отображение?
Ведь часто для $L^{2}[-\pi,\pi]$ используют

$$x_n= \frac{1}{\pi}\int^{+\pi}_{-\pi} dx \, f(x) \, e^{i \, n \, x}$$

а я написал обратное отображение.

[alcoholist]

Divergence
Определитесь

Divergence в сообщении #1049009 писал(а):

$L^{2}[-\pi,\pi]$

или

Divergence в сообщении #1048991 писал(а):

$L^2(\mathbb{R})$

[Divergence]

Я написал только пример формул, позволяющих получать соответствие.
A для $L^2(\mathbb{R})$, как делать?

[NSKuber]

Divergence в сообщении #1049009 писал(а):

А конкретный пример, если можно.

Насколько мне известно, в бесконечномерных пространствах существуют определённые трудности с предъявлением конкретного базиса, не говоря уже об отображении одного базиса на другой.