Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0

[scwec]

Приведу решения все же.
Для первого уравнения:$u=36N^2+4,w=36N(6N^2+1)$. Но оно для доказательства бесконечного числа рациональных решений не подходит. Надо вычислять следующее. Не выписываю.
Для второго уравнения $u=\dfrac{2916N^2+432N+4}{9},w=\dfrac{157464N^3+34992N^2+1620N-8}{27}$
Тут сразу видно, что $u$ дробное (числитель на 9 не делится) - стало быть для целых $N$ по Лутц-Нагель точка $(u,w)$ бесконечного порядка.
Для третьего уравнения $u=\dfrac{729N^2-378N+73}{9}, w=\dfrac{-19683N^3-15309N^2+4941N-595}{27}$
и по тем же причинам, что и выше $(u,w)$ бесконечного порядка.
Что касаемо общего доказательства, то оно достаточно элементарно, хотя и не просто, но это дело вкуса каждого.