Как в вузах предел функции по Коши определяют

[Mikhail_K]

Нет, это Вы подумайте!
Производная нормально определяется через мой вариант предела. Интеграл - это не совсем предел функции, но и там прокалывать окрестности не нужно.

Для существования моего варианта предела функции не нужно иметь значение функции в этой точке. Вот если значение существует, и предел тоже существует, тогда они должны совпадать.

-- 25.08.2015, 22:13 --

Но может существовать значение и не существовать предел; может также существовать предел и не существовать значение. С производной - второй случай.

[Oleg Zubelevich]

Mikhail_K в сообщении #1047826 писал(а):

Интеграл - это не совсем предел функции, но и там прокалывать окрестности не нужно.

афтар пиши исчо!

[Nemiroff]

Mikhail_K в сообщении #1047823 писал(а):

Приведите пример, где бы стандартная конструкция была полезной, а мой вариант - бесполезным.

Всё уже сказали: и про производную, и про непрерывность, и про существование предела без существования функции.

Mikhail_K в сообщении #1047823 писал(а):

Мне кажется предел функции, по большому счёту, вообще малополезной конструкцией, как его ни определяй.

Бывает.

[Mikhail_K]

Моё определение (сразу для метрических пространств).
Говорим, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, если $\forall\varepsilon>0$, $\exists\delta(\varepsilon)>0$: $\forall x\in D(f)\cap O_\delta(x_0)$, $\rho(f(x),a)<\varepsilon$.
Эквивалентное: говорим, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, если для всякой последовательности $x_n\to x_0$, $x_n\in D(f)$, справедливо $f(x_n)\to a$.
Здесь $D(f)$ - область определения функции $f$.
Вот и подумайте про производную, прежде чем смеяться.

-- 25.08.2015, 22:26 --

А интеграл, скажем, Римана - действительно не совсем предел функции, ибо там при устремлении к нулю отрезков дробления не однозначно определена интегральная сумма, нет функциональной зависимости. Но ясно, что можно видоизменить определение предела, причём моё определение тоже, так чтобы оно работало.

-- 25.08.2015, 22:27 --

Снимаю только своё поспешное замечание о малополезности предела функции.
Но замечание о неестественности определения с проколотыми окрестностями остаётся.

-- 25.08.2015, 22:30 --

Как я уже сказал, когда у нас устранимый разрыв, чаще всего функция бывает не определена в точке этого разрыва. Тогда предел функции в моём смысле существует, и никакой информации не теряется.

Надо потребовать, чтобы предел функции вычислялся в точке прикосновения области определения функции.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1047835 писал(а):

Моё определение (сразу для метрических пространств).
Говорим, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, если $\forall\varepsilon>0$, $\exists\delta(\varepsilon)>0$: $\forall x\in D(f)\cap O_\delta(x_0)$, $\rho(f(x),a)<\varepsilon$.

Вот уже и беда приключилась: на базе проколотых окрестностей нуля функция $|\ sgn(x)|$ имеет предел, равный $1$, а при таком определении - не имеет предела.
Дальнейшее обсуждение прописных истин считаю бессмысленным - все изжевано-пережевано в стопицоттысячах учебников по мат.анализу.

[Mikhail_K]

Я не спорю, что моё определение предела функции отличается от стандартного, например для функций вида $|{\rm{sgn}}x|$. Я это с самого начала утверждал.

Отличается моё определение большей естественностью. Что касается приведённой Вами функции, почему Вы так уверены, что полезнее считать её предел в нуле равным 1? Мне кажется, столь же естественно считать эту функцию не имеющей предела.

Повторю ещё раз, если вы боитесь пропажи информации о поведении функции при взятии предела в устранимых точках разрыва: на практике чаще всего в устранимых точках разрыва функция не определена, и тогда мой предел существует и совпадает с классическим.

-- 25.08.2015, 22:45 --

Для производной моё определение годится. Для интеграла - годится. Для устранимых точек разрыва, практически везде, где они реально появляются - годится. Не годится только в некоторых специально конструируемых случаях, да и в них не понятно, почему классический предел ближе нашему интуитивному пониманию предела, чем мой. По-моему, ближе как раз мой вариант.

Зато не надо вводить неестественный объект - окрестность с проколотой точкой. Чем же сама точка так провинилась, что мы её не принимаем во внимание? Все точки принимаем, а её нет.

[ex-math]

Извините, но я не могу назвать естественным несуществование предела в ситуации, когда я глазами на графике вижу стремление функции к некоторому значению. Итак, естественность Вашему определению не присуща. Возможно, ему присуще удобство? Тогда какое, кроме экономии чернил для прокалывания окрестностей?

[Mikhail_K]

А я глазами этого стремления не вижу. Вы видите, потому что привыкли не принимать во внимание саму точку. Но чем она хуже других точек, которые Вы принимаете во внимание?

Как Вы думаете, почему при определении колебания функции - естественного обобщения верхних и нижних пределов в случае метрических пространств - это колебание вычисляется по целой окрестности точки, а не по проколотой, например у Куратовского? Там тоже при желании можно было бы взять проколотую окрестность.

Потому что проколотые окрестности - это архаизм, от которого стоит отказаться.

Да и вообще предел функции в теории метрических пространств не очень нужен. Хватает предела последовательности, непрерывности функции, колебания функции.

[Nemiroff]

Mikhail_K в сообщении #1047851 писал(а):

Но чем она хуже других точек, которые Вы принимаете во внимание?

Предел — это поведение в окрестности. Тем и хуже.
Слушайте, будете читать курс матана — определите предел по-своему. Что вам надо?

[Mikhail_K]

Nemiroff в сообщении #1047852 писал(а):

Предел — это поведение в окрестности. Тем и хуже.

Именно!! В окрестности! А не в проколотой окрестности, заметьте!

[ex-math]

Посмотрите на картинку и увидите: график утыкается в единицу. Это обстоятельство не зависит от того, будете ли Вы принимать во внимание точку или нет. График все равно будет утыкаться. Поэтому Ваше определение контринтуитивно.

[Mikhail_K]

Ладно, не буду спорить. Я всё-таки по-прежнему думаю, что для математики удобнее и естественнее моё определение, а классическое - просто сложилось исторически и из-за этого сохраняется.
Ну, например, колебание функции в точке равно нулю тогда и только тогда, когда мой предел существует. Хотя тут вопрос, как определять колебание, но по-моему, уж в нём-то прокалывать окрестность совсем нет смысла. Или когда рассматриваем сходимость образов последовательности, сходящейся к данной точке - в классическом случае приходится оговаривать, чтоб последовательность избегала точки, к которой сходится. Если, например, точка обозначает какие-либо точные данные, а сходящаяся к ней последовательность - это последовательность всё более точных измерений этих данных, то совершенно непонятно, почему приближённым данным запрещается где-то случайно совпасть с точными.

Вот что интересно: классическое определение предела допускает отклонение и в другую сторону. Если моё определение уже классического (есть функции с классическим пределом, но без моего - и не наоборот), то это обобщённое, наоборот, шире. Вот оно (в пространстве $\mathbb{R}^n$):
Говорим, что $\lim\limits_{x\to x_0}^*f(x)=a$, если $\forall\varepsilon>0$, $\exists\delta(\varepsilon)>0$ такое, что для всех $x\in D(f)\cap O_\delta(x_0)$, кроме, быть может, счётного числа точек, справедливо $\|f(x)-a\|<\varepsilon$.

Такое определение действительно контринтуитивно; но оно представляет собой интересное обобщение классического предела. Обобщённый предел также единствен (если существует); если существует классический предел, то существует и обобщённый, и они равны.
Получается три определения предела, всё более широких: моё, классическое и обобщённое. В первом не игнорируются никакие точки из окрестности, во втором - одна точка, в третьем - счётное количество точек.
Других интересных обобщений, по-видимому, нет.

[Mikhail_K]

Или вместо счётного множества исключать множества меры нуль. Возможно, такой предел даже где-то полезен может быть.
Правда, для единственности надо аккуратно определить, в каких точках этот предел можно брать. Например, классический предел надо брать в предельных точках, мой первоначальный (с целыми окрестностями) - в точках прикосновения.

[Brukvalub]

Mikhail_KСкажите-ка, наш юный пытливый друг, а про предел по базису фильтра (по базе) вы что-нибудь слыхали?

[Mikhail_K]

К сожалению, нет.
Было бы интересно ознакомиться.