Восстановление функции распределения по характеристической

[ShMaxG]

demolishka в сообщении #1047594 писал(а):

Вот строить как раз нельзя: мы не знаем, какие точки являются точками непрерывности, а какие нет.

Почему нельзя? Точки непрерывности любой функции распределения существуют вплоть до $-\infty$. Нам не важно, где функция непрерывна, а где разрывна, главное, что подходящие точки в принципе есть (пусть примеры мы и не можем привести). И вот вдоль них мы и устремляем $x\to -\infty$. А из свойств функции распределения следует $F(-\infty)=0$, поэтому $F(y)-F(x) \to F(y)$ в точке непрерывности $y$. В точках же разрыва функции $F$ мы доопределяем ее по непрерывности слева (или справа). Таким образом получаем однозначным образом функцию распределения $F(y)$ во всех точках, а не только непрерывности.

[demolishka]

Вы сейчас расписываете в подробностях доказательство вот этого:

demolishka в сообщении #1047532 писал(а):

если $F_1$ и $F_2$ - две функции распределения, такие, что $\varphi(t) = \int e^{itx}dF_1(x) = \int e^{itx}dF_2(x)$, то в силу формулы обращения $F_1(y)=F_2(y)$ для всех точек $y$ из всюду плотного множества, а значит $F_1=F_2$.

Но предъявляете это(по крайней мере я так воспринимаю) как построение функции распределения.

О х.ф. $\varphi$ мы знаем лишь то, что для функции распределения, по которой она была построена, выполнена формула обращения. В общем случае Вы не можете явно написать формулу для $F(x)$ из которой следовала бы единственность такой функции. Но вы можете взять любую $F$, по которой получается эта х.ф. и уже тогда можете говорить о ее точках непрерывности и соответственно доказать единственность.

[ShMaxG]

Ну... ок Вопрос исчерпан?

[demolishka]

Для меня вопрос исчерпан давно. Так или иначе спасибо за дискуссию.

[g______d]

demolishka в сообщении #1047637 писал(а):

В общем случае Вы не можете явно написать формулу для $F(x)$ из которой следовала бы единственность такой функции.

Читерство (и ещё я не смог нормально обозначит существенный предел)?

$$ F(y)=(\mathrm{ess})\lim_{z\to y+0}(\mathrm{ess})\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{2\pi} \lim_{\sigma \to 0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-itx}-e^{-ity}}{it}\varphi(t)e^{-t^2\sigma^2}dt. $$

[ex-math]

demolishka
Я не понимаю Ваших затруднений. Взяв интеграл, Вы получаете функцию двух переменных. Она не всюду определена, но тем не менее можно вычислить ее предел при $x\to-\infty $. Результатом будет функция одной переменной. Там, где эта полученная функция непрерывна, она и есть функция распределения.

[demolishka]

ex-math в сообщении #1047675 писал(а):

при $x\to-\infty $.

Икс должен бежать на бесконечность по точкам непрерывности, иначе существование предела не гарантируется. А точки непрерывности для нас неизвестны.

g______d, мне понятие существенного предела не знакомо. Можете привести здесь определение, а то гугл ничего хорошего не выдает?

[ex-math]

demolishka
Вы же вычислили интеграл, так что Вы знаете, где он существует, а где нет, где непрерывен, а где нет. Эти точки непрерывности -- результат вычисления, а не какая-то предзаданность.

[g______d]

demolishka в сообщении #1047705 писал(а):

мне понятие существенного предела не знакомо

Я не знаю, какое определение каноническое, но можно, например, так: (UPD: для любого) $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое, что $\left|(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap \{x\colon |f(x)-L|>\varepsilon\}\right|<\varepsilon\delta$. Ну или в данном случае вообще можно заменить "$<\varepsilon\delta$" на "$=0$".

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1047714 писал(а):

например, так: $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое, что $\left|(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap \{x\colon |f(x)-L|>\varepsilon\}\right|<\varepsilon\delta$. Ну или в данном случае вообще можно заменить "$<\varepsilon\delta$" на "$=0$".

Кажется, что начало определения не вошло в текст...

[g______d]

Да, спасибо.

[demolishka]

g______d, существенный предел конечно решит проблему, если доопределить функцию в точках где интеграл расходится/предел не существует, например, бесконечностью. Но всё это похоже на какое-то извращение .

ex-math в сообщении #1047706 писал(а):

Вы же вычислили интеграл, так что Вы знаете, где он существует, а где нет, где непрерывен, а где нет. Эти точки непрерывности -- результат вычисления, а не какая-то предзаданность.

А никто не обещает, что интеграл в точках разрыва будет обязательно расходиться или сходиться. Об этом вообще ничего не известно.

[ex-math]

Если интеграл сходится и непрерывен, то и функция распределения тоже непрерывна в этой точке. Ведь она может иметь только разрывы первого рода. Так что при взгляде на интеграл все должно быть ясно. Разве что в неизолированных точках разрыва могут быть какие-то проблемы.

[ex-math]

Подумал над этим. Тут вот какая штука получается. Если функция распределения имеет разрыв в точке, то и интеграл имеет разрыв в этой точке. Если функция распределения непрерывна в точке и эта точка изолирована для точек разрыва, то и интеграл непрерывен в этой точке и она изолирована для его точек разрыва. Если функция распределения непрерывна в точке, являющейся предельной для точек разрыва, то интеграл может быть как непрерывен в этой точке, так и иметь разрыв. Но в смысле существенного предела он будет в этой точке непрерывен, так как точек разрыва не более чем счетное число. Так что существенный предел действительно закрывает вопрос. Обычный предел закрывает вопрос в тех случаях, когда точки разрыва интеграла изолированы или хотя бы их предельные точки изолированы.