Помогите понять один момент в доказательстве теоремы Ляпунова об устойчивости из книги Е.А. Барбашина "Введение в теорию устойчивости".
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
правые части которой
![$X_i(x_1, ..., x_n, t)$ $X_i(x_1, ..., x_n, t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/6/416bf7386b584d663b8a9e2b5ffde60882.png)
непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица в некоторой области
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
фазового пространства, включающей
точку
![$O(0, ..., 0)$ $O(0, ..., 0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/f/91fc7a5770a8b9a19d6bff183d64c28182.png)
вместе с ее некоторой окрестностью.Предположим выполненными условия
![$X_i(0, ..., 0) = 0$ $X_i(0, ..., 0) = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/7/1d79b608df1ac3f67e1f6e8524bad40d82.png)
, тогда точка
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
будет особой точкой системы
или, что то же, положением равновесия. Считаем систему автономной.
Теорема. Если для системы
существует в области
знакоопределенная функция
, производная которой по времени
, взятая в силу системы
, является
знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции
, то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова.Доказательство.Будем обозначать
![$J_{\varepsilon}$ $J_{\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/b/8fbc83f6f09d114582b74e8a9b60b56682.png)
внутренность шара радиуса
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
с центром в точке
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
, через
![$S_{\varepsilon}$ $S_{\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c9c73566abb013a37003ea1447370482.png)
сферическую поверхность этого шара.
Пусть для определенности
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
будет определенно положительной функцией. Положим
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
таким, что
![$J_{\varepsilon} \subset D$ $J_{\varepsilon} \subset D$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/1/ef17c670e5dc53029f0243c8beb1b1ef82.png)
, и пусть
![$l = \min_{S_{\varepsilon}} v$ $l = \min_{S_{\varepsilon}} v$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/f/16f189105ac008c7a51661be1b9782f782.png)
.
Выберем
таким, что в точках шара
выполнялось неравенство
и пусть
- произвольная точка из
. Рассмотрим траекторию
выходящую из точки
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
, и допустим, что она пересечет сферу
![$S_{\varepsilon}$ $S_{\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c9c73566abb013a37003ea1447370482.png)
в некоторой точке
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
. Так как
![$\dot{v} \le 0$ $\dot{v} \le 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/b/48b3990c83578508de478468d6b672cd82.png)
, функция
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
не возрастает вдоль траектории и поэтому
будем иметь
![$v(q) \le v(p) < l$ $v(q) \le v(p) < l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/1/021d6c22feeb3240e0f27d15e58ff3af82.png)
. C другой стороны, так как
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
- минимум функции
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
на
![$S_{\varepsilon}$ $S_{\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c9c73566abb013a37003ea1447370482.png)
, то должно выполняться неравенство
![$v(q) \ge l$ $v(q) \ge l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/1/8513b62b0d071fb889fc6c7f9fb9952a82.png)
. Полученное противоречие
доказывает, что точка
![$f(p, t)$ $f(p, t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/6/c1679de31b0b744270a6a839be8b212082.png)
не выйдет с ростом времени за пределы сферы
![$S_{\varepsilon}$ $S_{\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c9c73566abb013a37003ea1447370482.png)
.
Теорема доказана.
У меня два маленьких вопроса:
1. Из выделенного курсивом, "
в точках шара ..." означает во всех точках шара или хотя бы в одной?
2. Почему собственно это будет шар?