Помогите понять один момент в доказательстве теоремы Ляпунова об устойчивости из книги Е.А. Барбашина "Введение в теорию устойчивости".
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
правые части которой

непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица в некоторой области

фазового пространства, включающей
точку

вместе с ее некоторой окрестностью.Предположим выполненными условия

, тогда точка

будет особой точкой системы
или, что то же, положением равновесия. Считаем систему автономной.
Теорема. Если для системы
существует в области
знакоопределенная функция
, производная которой по времени
, взятая в силу системы
, является
знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции
, то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова.Доказательство.Будем обозначать

внутренность шара радиуса

с центром в точке

, через

сферическую поверхность этого шара.
Пусть для определенности

будет определенно положительной функцией. Положим

таким, что

, и пусть

.
Выберем
таким, что в точках шара
выполнялось неравенство
и пусть
- произвольная точка из
. Рассмотрим траекторию
выходящую из точки

, и допустим, что она пересечет сферу

в некоторой точке

. Так как

, функция

не возрастает вдоль траектории и поэтому
будем иметь

. C другой стороны, так как

- минимум функции

на

, то должно выполняться неравенство

. Полученное противоречие
доказывает, что точка

не выйдет с ростом времени за пределы сферы

.
Теорема доказана.
У меня два маленьких вопроса:
1. Из выделенного курсивом, "
в точках шара ..." означает во всех точках шара или хотя бы в одной?
2. Почему собственно это будет шар?