Теорема Ляпунова об устойчивости

[Challenger]

Помогите понять один момент в доказательстве теоремы Ляпунова об устойчивости из книги Е.А. Барбашина "Введение в теорию устойчивости".
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

$\frac{dx_i}{dt} = X_i(x_1, ..., x_n, t), ~ i = 1, ..., n, ~(1)$

правые части которой $X_i(x_1, ..., x_n, t)$ непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица в некоторой области $D$ фазового пространства, включающей
точку $O(0, ..., 0)$ вместе с ее некоторой окрестностью.Предположим выполненными условия $X_i(0, ..., 0) = 0$, тогда точка $O$ будет особой точкой системы
или, что то же, положением равновесия. Считаем систему автономной.
Теорема.
Если для системы $(1)$ существует в области $D$ знакоопределенная функция $v$, производная которой по времени $\dot{v}$, взятая в силу системы $(1)$, является
знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции $v$, то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова.
Доказательство.
Будем обозначать $J_{\varepsilon}$ внутренность шара радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $O$, через $S_{\varepsilon}$ сферическую поверхность этого шара.
Пусть для определенности $v$ будет определенно положительной функцией. Положим $\varepsilon$ таким, что $J_{\varepsilon} \subset D$ , и пусть $l = \min_{S_{\varepsilon}} v$.
Выберем $\delta > 0$ таким, что в точках шара $J_{\delta}$ выполнялось неравенство $v < l$ и пусть $p$ - произвольная точка из $J_{\delta}$. Рассмотрим траекторию $f(p, t)$
выходящую из точки $p$, и допустим, что она пересечет сферу $S_{\varepsilon}$ в некоторой точке $q$. Так как $\dot{v} \le 0$, функция $v$ не возрастает вдоль траектории и поэтому
будем иметь $v(q) \le v(p) < l$. C другой стороны, так как $l$ - минимум функции $v$ на $S_{\varepsilon}$, то должно выполняться неравенство $v(q) \ge l$. Полученное противоречие
доказывает, что точка $f(p, t)$ не выйдет с ростом времени за пределы сферы $S_{\varepsilon}$.
Теорема доказана.

У меня два маленьких вопроса:
1. Из выделенного курсивом, "в точках шара ..." означает во всех точках шара или хотя бы в одной?
2. Почему собственно это будет шар?

[ex-math]

1. Во всех точках.
2. Потому что мы рассматриваем шар, а не все множество точек с указанным свойством.

[Challenger]

ex-math в сообщении #1040536 писал(а):

2. Потому что мы рассматриваем шар, а не все множество точек с указанным свойством.

А такой шар всегда найдется?

[ex-math]

Как я понимаю, это следствие непрерывности $v $ и того, что в нуле ее значение меньше $l $.

[Challenger]

Хм, да, функция $v$ непрерывна и положительно определена. А не подскажите, что-то я совсем, это (следствие) известный факт?

[ex-math]

Это так называемая теорема о сохранении знака. Впрочем, она сразу следует из определения непрерывности.
Все-таки в книжке должна быть какая-то оговорка насчет $v $ типа той, что она в нуле равна нулю.

[Oleg Zubelevich]

это входит в определение знакоопределенности

-- Вс июл 26, 2015 00:48:34 --

Challenger в сообщении #1040527 писал(а):

условия $X_i(0, ..., 0) = 0$, тогда т

$X_i(0, ..., t) = 0,\quad \forall t\ge 0$

-- Вс июл 26, 2015 00:52:51 --

Challenger в сообщении #1040527 писал(а):

авенство $v(q) \ge l$.

а почему в неавтономной системе функция Ляпунова зависит лишь от пространственных переменных? это странный частный случай

-- Вс июл 26, 2015 01:08:24 --

Предварительно полезно доказать такую лемму. Обозначим через $B_r$ -- открытый шар простаранства $\mathbb{R}^m$ с центром в нуле.

Пусть функция $W\in C(\overline B_R)$ с некоторым $R>0$. И $W(x)=0\Longleftrightarrow x=0,$ при этом $W(x)\ge 0$. Здесь и в лемме ниже речь идет толлько об иксах принадлежащих $\overline B_R$.

Лемма. Для любого $\epsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $W(x)<\delta\Longrightarrow x\in B_\epsilon$.

Эта лемма означает, что множества уровней функции $W$ задают в нуле базу топологии, которая эквивалентна стандартной.

[Challenger]

ex-math в сообщении #1040548 писал(а):

Это так называемая теорема о сохранении знака. Впрочем, она сразу следует из определения непрерывности.
Все-таки в книжке должна быть какая-то оговорка насчет $v $ типа той, что она в нуле равна нулю.

В книжке, насколько я был внимательным, про значение функции $v$ в нуле ничего не говорится, знакоопределенность означает лишь, что в функция всюду в области определенного знака за исключением нуля. Но насколько я слышал тоже и если верить википедии, то да, в нуле она ноль. Тем не менее, спасибо.

Oleg Zubelevich в сообщении #1040562 писал(а):

Пусть функция $W\in C(\overline B_R)$ с некоторым $R>0$. И $W(x)=0\Longleftrightarrow x=0,$ при этом $W(x)\ge 0$. Здесь и в лемме ниже речь идет толлько об иксах принадлежащих $\overline B_R$.

Лемма. Для любого $\epsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $W(x)<\delta\Longrightarrow x\in B_\epsilon$.

Эта лемма означает, что множества уровней функции $W$ задают в нуле базу топологии, которая эквивалентна стандартной.

Здесь наверно, просто от противного, если составить отрицание данного утверждения, то можно устремить $\delta \to 0$ и тогда $W(x) = 0 $\Rightarrow$ x= 0 \not \in B_{\varepsilon}$ при некотором $\varepsilon.$ Противоречие?

[ex-math]

Аккуратнее напишите отрицание, пока ничего понять нельзя.
И ясно, что нужно существенно пользоваться непрерывностью, чего у Вас нет.

[Oleg Zubelevich]

Теорему Ляпунова, почему-то, любят формулировать в автономном варианте, в то время как есть неавтономный и к автономному он не сводится.

Определение. Функия $V(t,x)\in C(\mathbb{R}_+\times B_R),\quad V(t,0)=0$ называется положительно определенной если слуществует функция $W(x)$ удовлетворяющаяя условиям Леммы (см выше) и такая, что $V(t,x)\ge W(x)$.

Рассмотрим систему ОДУ

$$\dot x=f(t,x)\qquad (*)$$

правая часть этой системы удовлетворяет условиям теоремы Коши в $\mathbb{R}_+\times B_R$ и $f(t,0)=0$.

Теорема. Если существует дифференцируемая положительно определенная функция $V(t,x)$ такая, что

$$V_t+\frac{\partial V}{\partial x} f\le 0\qquad (**)$$

то решение $x(t)=0$ системы (*) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Зададимся произвольными $t_0\ge 0,\quad\epsilon>0$. И выберем такое $\delta>0$, что $\{y\in B_R\mid W(y)<\delta\}\subseteq B_\epsilon$. Это возможно в силу Леммы.
Покажем, что решение $x(t),\quad x(t_0)=x_0,\quad V(t_0,x_0)<\delta$ во все время $t\ge t_0$ удовлетворяет условию $\|x(t)\|<\epsilon.$
В силу неравенства (**) функция $V(t,x(t))$ невозрастает, следовательно $W(x(t))<\delta$. Теорема доказана.

[Challenger]

ex-math в сообщении #1041414 писал(а):

Аккуратнее напишите отрицание, пока ничего понять нельзя.
И ясно, что нужно существенно пользоваться непрерывностью, чего у Вас нет.

В определении , мне кажется, пропущено еще, что для любого $ \forall x \in dom W: W(x) < \delta \Rightarrow ~...$
Тогда отрицание будет:
$\exists \varepsilon_0 > 0~ \forall \delta > 0~ \exists x = x(\delta): W(x) < \delta \Rightarrow x \not \in B_{\varepsilon_0}(0) $.
Тогда взяв $\delta = \frac{1}{n}$ получим последовательность $x_n \not \in B_{\varepsilon_0}$. Устремив $n \to \infty $, получим $W(x_n) \to 0 = W(0)$, а это значит, в силу непрерывности функции W последовательность $x_n$ содержится в шаре радиуса $\varepsilon_0$, начиная с некоторого номера. Противоречие.

(Оффтоп)

Матан совсем забыл, поэтому с последним высказыванием не уверен .

Oleg Zubelevich, спасибо за обобщение на неавтономный случай.

[ex-math]

Challenger
Как из стремления $W (x_n) $ к нулю получается, что $x_n $ не могут быть отделены от нуля?
Здесь нужно применять теорему Вейерштрасса. Пусть $m $ -- минимальное значение $W (x) $ на множестве $\overline {B_R}\setminus B_{\varepsilon_0}$. Если взять $\delta <m $, получим противоречие.

[Challenger]

ex-math в сообщении #1047417 писал(а):

Challenger
Как из стремления $W (x_n) $ к нулю получается, что $x_n $ не могут быть отделены от нуля?

Да, действительно, глупость сморозил. Спасибо!