На самом деле, мои опасения ошибиться со способом индукции ориентации с симплекса на его грань, по-видимому, излишни.
Рассмотрим два способа такой индукции для симплексов и для многообразий, изложенные в предыдущем сообщении. Покажем, что они соответствуют друг другу. Для этого, ориентации симплекса
![$[A_0,A_1,\dots,A_n]$ $[A_0,A_1,\dots,A_n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf1fed39f532c925d55b8ec04224fa8a82.png)
поставим в соответствие ориентирующий репер

.
Теперь произведём индукцию ориентации на грань, определяемую выкинутой вершиной

, обоими способами (как у симплексов и как у многообразий) и убедимся, что результат одинаков.
Как у симплексов: грань получает ориентацию
![$(-1)^i [A_0,A_1,\dots,A_{i-1},A_{i+1},\dots,A_n]$ $(-1)^i [A_0,A_1,\dots,A_{i-1},A_{i+1},\dots,A_n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/b/41bc9eade3d79b629a42bea7a790ab7a82.png)
.
Как у многообразий: репер

для исходного симплекса будет ориентирован так же, как исходный, при чётных

и противоположно при нечётных; в то же время первый его вектор, будучи отложен в точке рассматриваемой грани, направлен в сторону от симплекса, а остальные лежат в рассматриваемой грани. Поэтому грань получает ориентацию, задаваемую репером

при чётных

и противоположную при нечётных. Пользуясь соответствием между заданием ориентации через порядок вершин и через ориентирующий репер, убеждаемся, что эта ориентация совпадает с полученной первым способом.