На самом деле, мои опасения ошибиться со способом индукции ориентации с симплекса на его грань, по-видимому, излишни.
Рассмотрим два способа такой индукции для симплексов и для многообразий, изложенные в предыдущем сообщении. Покажем, что они соответствуют друг другу. Для этого, ориентации симплекса
![$[A_0,A_1,\dots,A_n]$ $[A_0,A_1,\dots,A_n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf1fed39f532c925d55b8ec04224fa8a82.png)
поставим в соответствие ориентирующий репер
![$\{\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$ $\{\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/e/c9ea7d7a2f9e28194b02f04d9e98382782.png)
.
Теперь произведём индукцию ориентации на грань, определяемую выкинутой вершиной
![$A_i$ $A_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebf880807deff5796460f39aea46f8082.png)
, обоими способами (как у симплексов и как у многообразий) и убедимся, что результат одинаков.
Как у симплексов: грань получает ориентацию
![$(-1)^i [A_0,A_1,\dots,A_{i-1},A_{i+1},\dots,A_n]$ $(-1)^i [A_0,A_1,\dots,A_{i-1},A_{i+1},\dots,A_n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/b/41bc9eade3d79b629a42bea7a790ab7a82.png)
.
Как у многообразий: репер
![$\{\overline{A_iA_n},\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{i-1}A_n},\overline{A_{i+1}A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$ $\{\overline{A_iA_n},\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{i-1}A_n},\overline{A_{i+1}A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/5/c951e345554378e8a41559afa89f462082.png)
для исходного симплекса будет ориентирован так же, как исходный, при чётных
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
и противоположно при нечётных; в то же время первый его вектор, будучи отложен в точке рассматриваемой грани, направлен в сторону от симплекса, а остальные лежат в рассматриваемой грани. Поэтому грань получает ориентацию, задаваемую репером
![$\{\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{i-1}A_n},\overline{A_{i+1}A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$ $\{\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{i-1}A_n},\overline{A_{i+1}A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/e/3ce9b636e3841d65b5fbc67fd9d6195482.png)
при чётных
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
и противоположную при нечётных. Пользуясь соответствием между заданием ориентации через порядок вершин и через ориентирующий репер, убеждаемся, что эта ориентация совпадает с полученной первым способом.